Курсовая работа: Рішення систем нелінійних рівнянь. Метод ітерацій. Метод Ньютона–Канторовича

x = (x) (2)

Наприклад, для рішення системи двох нелінійних рівнянь з двома невідомими

потрібно перейти до рівностей:

Нехай вибрано початкове приближення (,), тоді

і k+1 приближення буде розраховуватися за формулами

Відомо, що процес ітерації зводиться до рішення системи, якщо усі числа матриці

по модулю менше одиниці. Більш простою вимогою, використовуваною на практиці, є наступне: сума модулів частних похідних по кожному стовбці матриці повинна бути менша одиниці

У випадку використання методу ітерацій до системи n рівнянь, k+1 ітерація буде будуватися по формулам

Тоді вимога сходження матиме вигляд:

Слід відмітити, що ця вимога виповняється для дуже малого числа функцій, і тому метод ітерації дуже рідко використовується на практиці, не дивлячись на його простоту.

1.1.1 Приклад рішення системи нелінійних рівнянь методом ітерацій

Рішить систему рівнянь

Ця система еквівалентна системі рівнянь:

Виберемо початкові приближення та провіримо умови

сходження процесу. Часні похідні мають вигляд

Маємо

Звідси слідує, що процес сходиться. Розрахунки на правому приближенні дають: