Курсовая работа: Рішення систем нелінійних рівнянь. Метод ітерацій. Метод Ньютона–Канторовича

Методом найшвидшого спуска приблизно розрахувати корені системи

розміщенні в області початку координат.

Маємо:

Тут та

Підставляємо нульове приближення, будемо мати:

та

по формулам получимо перше приближення

Аналогічно находимо друге приближення . Маємо:

.

1.3 Метод Ньютона-Канторовича

Метод Ньютона-Канторовича, придатний для проведення розрахунків в Excel. Як і в методі Ньтона для нелінійних рівнянь для знаходження кореня системи нелінійних рівнянь необхідно спочатку якимсь чином знайти початкове наближення до цього кореня (тобто вектор

),

а потім вже використовуються ітераційні формули методу проводиться його уточнення до досягнення заданої точності. Виклад методу (і його використання) зручніше проводити в матричній формі запису. При цьому, окрім векторів, , и (. (i - номер ітерації,, i ³ 0) ) використовується також матриця A (розмірності n ´ n), що складається з приватних похідних по всіх компонентах вектора :

:

Розглянемо ці методи для випадку n=2, тобто коли рівнянь в системі два і невідомих теж дві. В цьому випадку

, та .

Ідея методу полягає в розкладанні вектор-функції в ряд Тейлора в околиці початкового наближення із збереженням тільки доданків першого ступеня. Позначимо найдене (якимсь чином) початкове приближення до шуканого кореня через . Тоді можна приблизно записати

, (8)

На основі формула (8) будується ітараційна формула. А саме, вибирається так, щоб .

Тоді (у загальному вигляді) ітераційна формула матиме вигляд

(9)

В методі Ньютона цю ітераційну формулу перетворять до вигляду