Курсовая работа: Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева

Формула Гаусса

Формула Гаусса називається формулою найвищої алгебраїчної точності. Для формули розрахунку найвища точність може бути досягнута для поліномів степеня (2п - 1), які визначаються 2n постійними і (і =1,2,...,n).

Завдання полягає у визначенні коефіцієнтіві абсцис точок . Для знаходження цих постійних розглянемо виконання формули розрахунку для функцій вигляду

Враховуючи, що

отримаємо систему рівнянь

Ця система нелінійна, і її звичайне розв'язання пов'язане із значними обчислювальними труднощами. Але якщо використовувати систему для поліномів вигляду

де - поліном Лежандра, тоді її можна звести до лінійної відносно коефіцієнтів з заданими точками. Оскільки степені поліномів в співвідношенні не перевищують 2п - 1, повинна виконуватися система (4) і формула (5) приймає вигляд

В результаті властивості ортогональності ліва частина виразу дорівнює 0, тоді

що завжди забезпечується при будь-яких значеннях в точках, які відповідають кореням відповідних поліномів Лежандра.

Підставляючи ці значення в систему і враховуючи перші n. рівнянь, можна визначити коефіцієнти.

Формула розрахунку, де - нулі полінома Лежандра, а

визначаються із системи, називається формулою Гаусса.

Значеннядля різних п наведені в довідниках.

Для довільного Інтервалу (а, b ) формула для методу Гаусса приймає вигляд

Де

Оцінка похибки формули Гаусса з п вузлами визначається із співвідношення

де- максимальне значення похідної на ділянці

2.Вибір методу інструментальних засобів вирішення задач

Розв’язок даної задачі реалізовано на ЕОМ, причому було складено алгоритм та програму в середовищі Borland Delphi 7. Програма є досить простою та зрозумілою для користувача середнього рівня. Готову програму можна використовувати навіть на мінімальних системних параметрах процесора типу Intel P-100, 8 Мb ОЗУ та операційній системі MS-Windows 95.