Курсовая работа: Розробка математичної програми в середовищі С++

З формул (2), (3) видно, що і . Тому , а отже шуканий корінь знаходиться на проміжку . При цьому має місце оцінка збіжності

. (5)

Звідси випливає, що кількість ітерацій. які необхідно провести для знаходження наближеного кореня рівняння (1) з заданою точністю e задовольняє співвідношенню

. (6)

де [c] - ціла частина числа c.

Серед переваг даного методу слід відзначити простоту реалізації та надійність. Послідовність {x_n } збігається до кореня для довільних неперервних функцій f(x). До недоліків можна віднести невисоку швидкість збіжності методу та неможливість безпосереднього узагальнення систем нелінійних рівнянь.

Метод простої ітерації

Метод простої ітерації застосовується до розв’язування нелінійного рівняння виду

. (7)

Перейти від рівняння (1) до рівняння(7) можна багатьма способами, наприклад, вибравши

, (8)

де - довільна неперервна функція.

Вибравши нульове наближення x₀ , наступні наближення знаходяться за формулою

. (9)

Наведемо достатні умови збіжності методу простої ітерації.

Теорема 1. Нехай для вибраного початкового наближення x₀ на проміжку

(10)

функція j(x) задовольняє умові Лівшиця

(11)

де 0<q<1, і виконується нерівність

. (12)

Тоді рівняння (7) має на проміжку S єдиний корінь , до якого збігається послідовність (9), причому швидкість збіжності визначається нерівністю

. (13)

Зауваження: якщо функція j(x) має на проміжку S неперервну похідну , яка задовольняє умові

, (14)

то функція j(x) буде задовольняти умові (11) теореми 1.

З (13) можна отримати оцінку кількості ітерацій. які потрібно провести для знаходження розв’язку задачі (7) з наперед заданою точністю e:

. (15)

Наведемо ще одну оцінку. що характеризує збіжність методу простої ітерації:

. (16)

Метод релаксації