Курсовая работа: Системы эквивалентные системам с известным типом точек покоя
, если с
0;
x=0, y=at+c, если с=0, где постоянные с, с
, с
связаны соотношением с
(b+c
+c
)=a
, имеет два центра в точках
и
.
Решение:
Подставим общее решение
в нашу систему (1) получим
==c(c
cosct-c
sinct)=
a-
Для краткости распишем знаменатель и преобразуем
x+y
+b=
=
=a+c(csinct+c
cosct)
a-
Получаем, что x и y являются общим решением системы.
3. Нахождение первого интеграла дифференциальной системы и условия его существования
Рассмотрим систему = f (t, x), x= (x
,…, x
), (t, x)
(1) с непрерывной в области D функцией f. Дифференцируемая функция U (t, x), заданная в некоторой подобласти G области D, называется первым интегралом системы (1) в области G, если для любого решения x(t), t
, системы (1), график которого расположен в Gфункция U (t, x(t)), t
, постоянна, т.е. U (t, x(t)) зависит только от выбора решения x(t) и не зависит от t.
Пусть V (t, x), V:GR , есть некоторая функция. Производной от функции V в силу системы (1) назовем функцию V
V
R, определяемую равенством
V (t, x(t))
t
.
Лемма 1.
Для любого решения x(t), t, системы (1), график которого расположен в G, имеет место тождество
Vt
.
Без доказательства.
Лемма 2.
Дифференцируемая функция U (t, x), U:GR , представляет собой первый интеграл системы (1) тогда и только тогда, когда производная U
в силу системы (1) тождественно в G обращается в нуль.
Необходимость. Пусть U (t, x) есть первый интеграл системы (1). Тогда для любого решения x(t) этой системы, применяя лемму 1 будем иметь тождества
U
Откуда при t=t получим равенство U
(t
справедливое при всех значениях t
и x(t
). Необходимость доказана.