Курсовая работа: Собственные значения.
Целый ряд инженерных задач сводится к рассмотрению систем уравнений, имеющих единственное решение лишь в том случае, если известно значение некоторого входящего в них параметра. Этот особый параметр называется характеристическим, или собственным, значением системы. С задачами на собственные значения инженер сталкивается в различных ситуациях. Так, для тензоров напряжений собственные значения определяют главные нормальные напряжения, а собственными векторами задаются направления, связанные с этими значениями. При динамическом анализе механических систем собственные значения соответствуют собственным частотам колебаний, а собственные векторы характеризуют моды этих колебаний. При расчете конструкций собственные значения позволяют определять критические нагрузки, превышение которых приводит к потере устойчивости.
Выбор наиболее эффективного метода определения собственных значений или собственных векторов для данной инженерной задачи зависит от ряда факторов, таких, как тип уравнений, число искомых собственных значений и их характер. Алгоритмы решения задач на собственные значения делятся на две группы. Итерационные методы очень удобны и хорошо приспособлены для определения наименьшего и наибольшего собственных значений. Методы преобразований подобия несколько сложней, зато позволяют определить все собственные значения и собственные векторы.
В данной работе будут рассмотрены наиболее распространенные методы решения задач на собственные значения. Однако сначала приведем некоторые основные сведения из теории матричного и векторного исчислений, на которых базируются методы определения собственных значений.
2. НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ, НЕОБХОДИМЫЕ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
В общем виде задача на собственные значения формулируется следующим образом:
AX =lX,
где A — матрица размерности n х n. Требуется найти n скалярных значений l и собственные векторы X, соответствующие каждому из собственных значений.
Основные определения матричного исчисления
1. Матрица A называется симметричной, если
аij = аij, где i, j = 1, 2, . . ., n.
Отсюда следует симметрия относительно диагонали
аkk, где k == 1, 2, . . ., n.
Матрица
| 1 | 4 | 5 |
| 4 | 3 | 7 |
| 5 | 7 | 2 |
является примером симметричной.
2. Матрица A называется трехдиагональной, если все ее элементы, кроме элементов главной и примыкающих к ней диагоналей, равны нулю. В общем случае трехдиагональная матрица имеет вид
| * | * | 0 | |||
| * | * | * | |||
| * | * | * | |||
| . | . | . | . | . | . |
| * | * | * | |||
| 0 | * | * | * | ||
| * | * |
Важность трехдиагональной формы обусловлена тем, что некоторые методы преобразований подобия позволяют привести произвольную матрицу к этому частному виду.
3. Матрица A называется ортогональной, если
АТА = Е,
где Ат—транспонированная матрица A, а Е—единичная матрица. Очевидно, матрица, обратная ортогональной, эквивалентна транспонированной.
4. Матрицы А и В называются подобными, если существует такая несингулярная матрица Р, что справедливо соотношение
В = Р-1АР.
Основные свойства собственных значений.
1. Все п собственных значений симметричной матрицы размерности пХп, состоящей из действительных чисел, действительные. Это полезно помнить, так как матрицы, встречающиеся в инженерных расчетах, часто бывают симметричными.
2. Если собственные значения матрицы различны, то ее собственные векторы ортогональны. Совокупность п линейно независимых собственных векторов образует базис рассматриваемого пространства. Следовательно, для совокупности линейно независимых собственных векторов
Xi, где i == 1,. . ., n,
любой произвольный вектор в том же пространстве можно выразить через собственные векторы. Таким образом,
n
Y = S aiXi.
i=1
3. Если две матрицы подобны, то их собственные значения совпадают. Из подобия матриц A и В следует, что
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--