Курсовая работа: Собственные значения.
{**********************************************************************}
Программа определение всех главных напряжении трехосной матрицы напряжений.
В программе использовано подпрограмма ЕIGЕМ из пакета программ для научных исследований фирмы IВМ
{**********************************************************************}
DIMENSION S<6),R(?) С
# Задание матрицы в компактной форме
S(1) = 10 Е06
S(2) = 5 Е06
S(3) = 20 Е06
S(4) = 6 Е06
S(5) = 4 Е06
S(6) = 30 Е06
# Определение всех собственных значений методом Якоби
CALL EIGEN(S,R,3,0)
# Печать собственные значении
WRITE(6,100)
WRITE(6,101) S(1),S(3),3(6)
100 FORMAT(1Х,'ТНЕ EIGENVALUES ARE'')
101 FORMAT(1X,E15.8)
STOP
END
Результат работы программы получаем в виде:
Собственные значения равны
0.33709179E 08
0.19149061E 08
0.71417603E 07
Метод Гивенса для симметричных матриц
Метод Гивенса основан на преобразовании подобия, аналогичном применяемому в методе Якоби. Однако в этом случае алгоритм построен таким образом, что вновь образованные нулевые элементы при всех последующих преобразованиях сохраняются. Поэтому метод Гивенса требует выполнения конечного числа преобразований и по сравнению с методом Якоби связан с меньшими затратами машинного времени. Его единственный недостаток состоит в том, что симметричная матрица приводится не к диагональному, а к трехдиагональному виду. Ниже будет показано, что такая форма матрицы может быть весьма полезной и оправдывает усилия, затраченные на ее получение.
В случае матрицы размерности п х п метод Гивенса требует п — 2 основных шагов, на каждом из которых выполняется ряд преобразований, число которых зависит от числа нулей, которое хотят получить в данном столбце или строке. На k -м шаге обращают в нули элементы, стоящие вне трех диагоналей k-й строки и k -го столбца, сохраняя в то же время нулевые элементы, полученные на предыдущих шагах. Таким образом, перед началом k -го шага преобразованная матрица является трехдиагональной, если ограничиться рассмотрением ее первых k — 1 строк и столбцов. По мере преобразований симметричная матрица размерности 5х5 приобретает следующие формы:
| * | * | * | * | * | ||
| * | * | * | * | * | ||
| A0= | * | * | * | * | * | исходная матрица, |
| * | * | * | * | * | ||
| * | * | * | * | * |
| * | * | 0 | 0 | 0 | ||
| * | * | * | * | * | ||
| A1= | 0 | * | * | * | * | после первого основного шага, |
| 0 | * | * | * | * | состоящего из трех преобразований, | |
| 0 | * | * | * | * |
| * | * | 0 | 0 | 0 | ||
| * | * | * | 0 | 0 | ||
| A2= | 0 | * | * | * | * | после второго основного шага, |
| 0 | 0 | * | * | * | состоящего из двух преобразований, | |
| 0 | 0 | * | * | * |
| * | * | 0 | 0 | 0 | ||
| * | * | * | 0 | 0 | после третьего основного шага, | |
| A3= | 0 | * | * | * | 0 | состоящего из одного преобразования. |
| 0 | 0 | * | * | * | Теперь матрица имеет трехдиагональный вид. | |
| 0 | 0 | 0 | * | * |
На каждом основном шаге изменяются лишь те элементы матрицы аij, которые расположены в ее правой нижней (заштрихованной) части. Таким образом на k-м шаге преобразуется только матрица порядка (п — k + 1), занимающая правый нижний угол исходной матрицы. Ясно, что на каждой следующей стадии выполняется меньшее число преобразований, чем на предыдущей. Всего для приведения матрицы к трехдиагональному виду требуется выполнить (n2 — Зп + 2)/2 преобразований.