Курсовая работа: Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам

Теорема Каковы бы ни были три точки A, B и C, имеет место векторное равенство

Доказательство.

Пусть A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3) – данные три точки.

Вектор AB имеет координаты (x2 – x1; y2 – y1), вектор BC имеет координаты (x3 – x2; y3 – y2). Следовательно, вектор AB + BCимеет координаты (x3 – x1;y3 – y1). А вектор AC имеет координаты (x3 – x1;y3 – y1). Значит, AC = AB+ BC. Теорема доказана.

Сложение векторов. Правило параллелограмма

Правилом параллелограмма сложения векторов называется следующий способ:

Пусть есть векторы AB и AC у которых начало вектора совпадает, а концы не совпадают

Достроим данный угол до параллелограмма, так что AC = BD и AB = CD.

Тогда AB + BD = AD, а так как BD = AC, то AB + AC = AD

Сложение векторов. Правило треугольника

Правилом треугольника сложения векторов называется следующий способ:

Пусть есть произвольные векторы a и b. Надо от конца вектора a отложить вектор b`, равный вектору b. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора a, а конец совпадет с концом вектора b`, будет суммой a + b.

Свойство умножения вектора на число

Теорема

Абсолютная величина вектора λa равна |λ| |a|. Направление вектора λa при a≠ 0 совпадает с направлением вектора a, если λ>0, и противоположно направлению вектора a, если λ<0.

Доказательство.

Построим векторы OA и OB равные a и λa соответственно (O – начало координат). Пусть a1 и a2 – координаты вектора a. Тогда координатами точки A будут числа a1 и a2 координатами точки B – числа λa1 и λa2. Уравнение прямой OA имеет вид: αx + βy = 0.

Так как уравнению удовлетворяют координаты точки A (a1; a2), то ему удовлетворяют и координаты точки B (λa1; λa2). Отсюда следует, что точка B лежит на прямой OA. Координаты c1 и c2 любой точки C, лежащей на луче OA, имеют те же знаки, что и координаты a1 и a2 точки A, и координаты любой точки, которая лежит на луче, дополнительном к OA, имеют противоположные знаки.

Поэтому, если λ > 0, то точка B лежит на луче OA, а следовательно, векторы a и λa одинаково направлены. Если λ < 0, то точка B лежит на дополнительном луче и векторы a и λa противоположно направлены.

Абсолютная величина вектора λa равна: