Курсовая работа: Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам

Теорема

Равные векторы имеют равные соответствующие координаты.

Доказательство

Рассмотрим два случая: 1) векторы не лежат на одной прямой.

Пусть есть вектор a с началом в точке A (x; y) и концом в точке A` (x`; y`). При параллельном переносе получаем вектор b, у которого тогда начало будет в точке B(x+c; y+d), а конец в точке B`(x`+c; y`+d). Отсюда видно, что оба вектора будут иметь одни и тебе координаты (x-x`; y-y`).

2) векторы лежат на одной прямой.

Пусть есть прямая l на которой лежат равные векторы AA` и BB`. A(x; y), A`(x`; y`), B(x1;y1) и B(x1`; y1`). Проведем прямую l1 параллельную l и отложим на ней вектор CD равный AA` и BB`, C (x0; y0) и D (x0`; y0`). Так как AA` = CD, из предыдущего пункта x-x`=x0-x0` и y-y`=y0-y0`. С другой стороны BB` = CD и x1-x1`=x0-x0`, y1-y1`=y0-y0`. Сравнивая равенства получаем x-x`=x1-x1` и y-y`=y1-y1`. Теорема доказана.

Произведение вектора a(a1; a2) на число λ называется вектор (λa1; λa2), т.е. (a1; a2) λ = (λa1; λa2).

Для любого вектора a и чисел λ, μ

Для любого вектора a и b и числа λ

Коллинеарный вектор

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы либо одинаково направлены, либо противоположно направлены.

Коллинеарный вектор. Свойства

Теорема

Если есть два отличных от нуля коллинеарных вектора, то существует число λ такое, что

Доказательство.

Пусть a и b одинаково направлены.

- это векторы, которые одинаково направлены и имеют одну и ту же абсолютную величину |b|. Значит, они равны:

Когда векторы a и b противоположно направлены аналогично заключаем, что

Теорема доказана.