Курсовая работа: Создание программы для определения вершин пирамиды с выпуклым основанием по данным точкам

Любой вектор с можно представить в виде

Скалярным произведением векторов a (a1; a2) и a (b1; b2) называется число a1b1+a2b2.

Для любых векторов a (a1; a2), b (b1; b2), c (с1; с2)

Углом между ненулевыми векторами AB и AC называется угол ABC. Углом между любыми двумя ненулевыми векторами a и b называется угол между равными им векторами с общим началом.

Скалярное произведение. Свойство

Теорема

Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Доказательство.

Пусть a и b – данные векторы и φ – угол между ними. Имеем:

или

Скалярное произведение ab таким образом, выражается через длины векторов a, b и a + b т. е. систему координат можно выбрать любую, а величина скалярного произведения не изменится. Выберем систему координат xy так, чтобы начало координат совпало с началом вектора a, а сам вектор лежал на положительной полуоси оси Ox. Тогда координатами вектора a будут числа |a| и 0, а координатами вектора a – |a| cos φ и |a| sin φ . По определению

Теорема доказана.

Из теоремы следует, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.

Плоскость, многоугольники

Плоскость

Теорема

Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и при том только одну.

Доказательство

Пусть AB – данная прямая и С – не лежащая на ней точка. Проведем через точки A и С прямую. Прямые AB и AC различны, так как точка С не лежит на прямой AB. Проведем через прямые AB и AC плоскость α. Она проходит через прямую AB и точку С.

Докажем, что плоскость α, проходящая через прямую AB и точку С, единственна.

Допустим, существует другая, плоскость α.`, проходящая через прямую AB и точку С. По аксиоме о том, что если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку, плоскости α и α` пересекаются по прямой. Эта прямая должна содержать точки A, B, C. Но они не лежат на одной прямой. Что противоречит предположению. Теорема доказана.