Математика / Курсовая работа: Структуризация задач принятия решений в условиях определенности Некорректно поставленные задачи

Курсовая работа: Структуризация задач принятия решений в условиях определенности Некорректно поставленные задачи

Без ущерба для общности будем считать, что ||A||<1. Предположим, что для уравнение (1) имеет нормальное псевдорешение . Будем решать задачу его устойчивого нахождения по приближенным данным уравнения (1) , пологая оператор А заданным точно. Таким образом, требуется по данным найти такой элемент ,который сильно сходиться в Z к при .

2. Эта задача может быть решена многими методами (регуляризирующими алгоритмами). Например, для ее решения можно использовать метод невязки (в обобщенной форме для решения несовместных уравнений). В этом методе приближение к ищется как решение экстремальной задачи

Здесь - оценка меры несовместности

решаемого операторного уравнения. Известно, что без привлечения дополнительной информации об искомом решении или о точных данных задачи () метод невязки не может обеспечить точность приближенного решения лучше, чем . Аналогичная ситуация складывается и при использовании метода регуляризации А. Н. Тихонова, в котором наилучшая возможная точность есть , как бы ни выбирался параметр регуляризации. Это явление обычно называют «насыщением точности» регуляризирующего алгоритма (РА). Его можно избежать, если учесть в РА априорную информацию о свойствах точного решения. Например, если известно, что , где , то, используя величину p, можно построить РА, которые дают приближение с порядком точности , оптимальным на классе задач (1) с решениями указанного вида.

С другой стороны, можно, не зная величины р, но используя оценку , построить РА, которые позволяют устойчиво определять число р и получать приближение к с оптимальным порядком точности для произвольного р> 0. Алгоритмы такого рода предлагаются в данной заметке.

3. Сформулируем основные положения. Пусть известно, что нормальное псевдорешение задачи (1) истокообразно представимо с помощью степени оператора . Поскольку такое представление не единственно, будем иметь ввиду, что

где р> 0 – максимально возможное число. В общем случае число р полагается неизвестным, но при этом считается, что дана величина r.

Ниже будет использована величина - устойчивая оценка меры несовместимости уравнения (1), удовлетворяющая требованиям:

В качестве можно выбрать, например, упомянутое выше число .

4. Методику построения алгоритмов рассмотрим на примере специализированного метода невязки. Предлагаемый РА основан на решении экстремальной задачи: при заданном параметре найти элемент такой, что

(C=const > 1). Алгоритм состоит из двух шагов:

1) Найти число

2) Вычислить при решение задачи (3) и применять элемент в качестве приближения к .

Экстремальные задачи (3), (4) обладают важными свойствами.

Теорема 1. Пусть выполнено (2). Тогда задача (3) однозначно разрешима при всяком Для каждого , найдется такое число , что при любом , для решения задачи (3) справедлива оценка: