Курсовая работа: Сущность теории игр

Цена игры - средний выигрыш игрока 1 при использовании обо­ими игроками смешанных стратегий. Следовательно, решением матричной игры является:

1) – оптимальная смешанная стратегия игрока 1;

2) – оптимальная смешанная стратегия игрока 2;

3) g – цена игры.

Смешанные стратегии будут оптимальными ( и ), если образуют седловую точку для функции т.е.

(1.12)

Существует основная теорема математических игр.

Для матричной игры с любой матрицей А величины

и (1.13)

существуют и равны между собой: a = b = g.

Следует отметить, что при выборе оптимальных стратегий игро­ку 1 всегда будет гарантирован средний выигрыш, не меньший чем цена игры, при любой фиксированной стратегии игрока 2 (и, наоборот, для игрока 2). Активными стратегиями игроков 1 и 2 называют стратегии, входящие в состав оптимальных смешанных стратегий соответствующих игроков с вероятностями, отличными от нуля. Значит, в состав оптимальных смешанных стратегий игроков могут входить не все априори заданные их стратегии.

Решить игру - означает найти цену игры и оптимальные страте­гии. Рассмотрение методов нахождения оптимальных смешанных стратегий для матричных игр начнем с простейшей игры, описываемой матрицей 2´2. Игры с седловой точкой специально рассматриваться не будут. Если получена седловая точка, то это означает, что имеются невыгодные стратегии, от которых следует отказываться. При отсутствии седловой точки можно получить две оптимальные смешанные стратегии. Как уже отмечалось, эти смешанные стратегии записываются так:

(1.14)

Значит, имеется платежная матрица

(1.15)

Приэтом

a₁₁ p₁ + a₂₁ p₂ = g; (1.16)

a₁₂ p₁ + a₂₂ p₂ = g; (1.17)

p₁ + p₂ = 1. (1.18)

a₁₁ p₁ + a₂₁ (1 – p₁ ) = a₁₂ p₁ + a₂₂ (1 – p₁ ); (1.19)

a₁₁ p₁ + a₂₁ – a₂₁ p₁ = a₁₂ p₁ + a₂₂ – a₂₂ p₁ , (1.20)

откуда получаем оптимальные значенияи :

(1.21)

(1.22)

Зная и , находим g:

(1.23)

Вычислив g, находим и :

a₁₁ q₁ + a₁₂ q₂ = g; q₁ + q₂ = 1; (1.24)

a₁₁ q₁ + a₁₂ (1 – q₁ ) = g. (1.25)