Курсовая работа: Сущность теории игр

Задача решена, так как найдены векторы и цена игры g. Имея матрицу платежей А, можно решить задачу графически. При этом методе алгоритм решения весьма прост (рис. 2.1).

1. По оси абсцисс откладывается отрезок единичной длины.

2. По оси ординат откладываются выигрыши при стратегии А₁ .

3. На линии, параллельной оси ординат, в точке 1 откладываются выигрыши при стратегии a₂ .

4. Концы отрезков обозначаются для a₁₁ -b₁₁ , a₁₂ -b₂₁ , a₂₂ -b₂₂ , a₂₁ -b₁₂ и проводятся две прямые линии b₁₁ b₁₂ и b₂₁ b₂₂ .

5. Определяется ордината точки пересечения с. Она равна g. Абсцисса точки с равна р₂ (р₁ = 1 – р₂ ).

Рис. 1.1. Оптимальная смешанная стратегия

Данный метод имеет достаточно широкую область приложения. Это основано на общем свойстве игр т´п, состоящем в том, что в любой игре т´п каждый игрок имеет оптимальную смешанную стратегию, в которой число чистых стратегий не больше, чем min(m, n). Из этого свойства можно получить известное следствие: в любой игре 2´п и т´2 каждая оптимальная стратегия и содержит не более двух активных стратегий. Значит, любая игра 2´п и т´2 может быть сведена к игре 2´2. Следовательно, игры 2´п и т´2 можно решить графически. Если матрица конечной игры имеет раз­мерность т´п, где т > 2 и п > 2, то для определения оптимальных смешанных стратегий используется линейное программирование.

1.2.2 Мажорирование (доминирование) стратегий

Мажорирование представляет отношение между стратегиями, наличие которого во многих практических случаях дает возможность сократить размеры исходной платежной матрицы игры. Рассмотрим это понятие на примере матрицы:

(1.27)

Рассуждая с позиции игрока 2, можно обнаружить преимущество его третьей стратегии перед второй, поскольку при первой стратегии игрока 1 выигрыш игрока 2 равен -3 (вторая стратегия) и 1 (третья стратегия), а при второй стратегии игрока 1 выигрыш игрока 2 равен -2 (вторая стратегия) и -0,5 (третья стратегия). Таким образом, при любой стратегии игрока 1 игроку 2 выгоднее применять свою третью стратегию по сравнению со второй; при наличии третьей стратегии игрок 2, если он стремится играть оптимально, никогда не будет использовать свою вторую стратегию, поэтому ее можно исключить из игры, т.е. в исходной платежной матрице можно вычеркнуть 2-й столбец:

(1.28)

С позиции игрока 1 его первая стратегия оказывается хуже второй, так как по первой стратегии он только проигрывает. Поэтому первую стратегию можно исключить, а матрицу игры преобразовать к виду: (0 0,5).

Учитывая интересы игрока 2, следует оставить только его первую стратегию, поскольку, выбирая вторую стратегию, игрок 2 оказывается в проигрыше (0,5 - выигрыш игрока 1), и матрица игры принимает простейший вид: (0), т.е. имеется седловая точка.

Мажорирование можно распространить и на смешанные стратегии. Если элементы одной строки не все меньше (или равны) соответствующих элементов других строк, но все меньше (или равны) некоторых выпуклых линейных комбинаций соответствующих элементов других строк, то эту стратегию можно исключить, заменив ее смешанной стратегией с соответствующими частотами использования чистых стратегий.

В качестве иллюстрации к сказанному рассмотрим матрицу игры:

(1.29)

Для первых двух чистых стратегий игрока 1 возьмем частоты их применения (вероятности) равными 0,25 и 0,75.

Третья стратегия игрока 1 мажорируется линейной выпуклой комбинацией первой и второй чистых стратегий, взятых с частотами 0,25 и 0,75 соответственно, т.е. смешанной стратегией:

24 × 0,25 + 0 × 0,75 = 6 > 4; (1.30)

0 × 0,25 + 8 × 0,75 = 6 > 5. (1.31)

Поэтому третью стратегию игрока 1 можно исключить, используя вместо нее указанную выше смешанную стратегию.

Аналогично, если каждый элемент некоторого столбца больше или равен некоторой выпуклой линейной комбинации соответствующих элементов некоторых других столбцов, то этот столбец можно исключить из рассмотрения (вычеркнуть из матрицы). Например, для матрицы

(1.32)

третья стратегия игрока 2 мажорируется смешанной стратегией из первой и второй его чистых стратегий, взятых с частотами 0,5 и 0,5:

10 × 0,5 + 0×0,5 = 5 < 6; (1.33)

0 × 0,5 + 10 × 0,5 = 5 < 7. (1.34)