Курсовая работа: Сущность теории игр

2. По оси ординат отложим выигрыши при стратегии А₁ .

3. На вертикали в точке 1 отложим выигрыши при стратегии А₂ .

4. Проводим прямую b₁₁ b₁₂ , соединяющую точки а₁₁ , а₂₁ .

5. Проводим прямую b₂₁ b₂₂ , соединяющую точки а₁₂ , а₂₂ .

6. Определяем ординату точки пересечения с линий b₁₁ b₁₂ и b₂₁ b₂₂ . Она равна g.

7. Определим абсциссу точки пересечения с. Она равна р₂ , а р₁ = l – р_2.

Выпишем решение и представим оптимальную стратегию игры:

р₁ = 0,375; (2.3)

р₂ = 0,625; (2.4)

g =0,55. (2.5)

Вывод. При установке новой системы ЭВМ, если неизвестны условия решения задач заказчика, на работу ЭВМ А₁ должно приходиться 37,5% времени, а на работу ЭВМ А₂ - 62,5%. При этом выигрыш составит 55% по сравнению с предыдущей системой ЭВМ.

3. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ИГР С ПРИРОДОЙ

3.1 Постановка задачи

Рассмотрим игры с природой на примере следующей задачи. Необходимо закупить уголь для обогрева дома. Количество хранимого угля ограничено и в течение холодного периода должно быть полностью израсходовано. Предполагается, что неизрасходованный зимой уголь в лето пропадает. Покупать уголь можно в любое время, однако летом он дешевле, чем зимой. Неопределенность состоит в том, что не известно, какой будет зима: суровой, тогда придется докупать уголь, или мягкой, тогда часть угля может остаться неиспользованной. Очевидно, что у природы нет злого умысла и она ничего против человека «не имеет». С другой стороны, долгосрочные прогнозы, составляемые метеорологическими службами, неточны и поэтому могут использоваться в практической деятельности только как ориентировочные при принятии решений.

Имеются следующие данные о количестве и ценах угля, необходимого зимой для отопления дома (табл. 3.1). Вероятности зим: мягкой - 0,35; обычной - 0,5; холодной - 0,15.

Зима	Количество угля, т	Средняя цена за 1 т, грн.
Мягкая	4	7
Обычная	5	7,5
Холодная	6	8

Эти цены относятся к покупкам угля зимой. Летом цена угля 6 грн. за 1 т. Есть место для хранения запаса угля до 6 т, заготавливаемого летом. Если потребуется зимой докупить недостающее количество угля, докупка будет по зимним ценам. Предполагается, что весь уголь, который сохранится до конца зимы, в лето пропадет.(Предположение делается для упрощения постановки и решения задачи.)

Сколько угля летом покупать на зиму?

3.2 Решение задач игр с природой

Пользуясь исходными данными, строим матрицу игры. Стратегиями игрока 1 (человек) являются различные показатели количества тонн угля, которые ему, возможно, следует купить. Состояниями природы выступают вероятности видов зимы.

Вычислим, например, показатель для холодной зимы. Игрок 1 приобрел уголь для обычной зимы 5 т по цене 6 грн. за 1 т. Для обогрева он должен закупить еще 1 тонну по цене 8 грн за 1т.

Следовательно, расчет платы за уголь будет 5 × 6 – при заготовке, и зимой 8 × 1. Аналогично производятся расчеты при других сочетаниях.

В итоге получим следующую платежную матрицу в игре с природой платежную матрицу (табл. 3.2).

Таблица 3.2.

Вероятность Зима	0,35	0,5	0,15
	Мягкая	Обычная	Холодная
Мягкая (4т)	-(4 × 6)	-(4 × 6 + 1 × 7,5)	-(4 × 6 + 2 × 8)
Обычная (5 т)	-(5 × 6)	-(5 × 6 + 0 × 7,5)	-(5 × 6 + 1 × 8)
Холодная (6 т)	-(6 × 6)	-(6 × 6 + 0 × 7,5)	-(6 × 6 + 0 × 8)

Произведем расчет ожидаемой средней платы за уголь (табл. 3.3).

Таблица 3.3

Зима	Средняя ожидаемая плата
Мягкая	-(24 × 0,35 + 31,5 × 0,5 + 40 × 0,15) = -30,15
Обычная	-(30 × 0,35 + 30 × 0,5 + 38 × 0,15) = -31,2
Холодная	-(36 × 0,35 + 36 × 0,5 + 36 × 0,15) = - 36

Как видно из табл. 3.3, наименьшая ожидаемая средняя плата приходится на случай мягкой зимы (30,15 грн.). Соответственно если не учитывать степени риска, то представляется целесообразным летом закупить 4 т угля, а зимой, если потребуется, докупить уголь по более высоким зимним ценам.

Однако, привлекая дополнительную информацию в форме расчета среднеквадратичного отклонения как индекса риска. Мы можем уточнить принятое на основе максимума прибыли или минимума издержек решение. Дополнительные рекомендации могут оказаться неоднозначными, зависящими от склонности к риску ЛПР.