т. е. уравнение (2) будет иметь вид

или

(3)

гдеdс/dt— полная производная плотности.

Для установившегося движения сжимаемой жидкости∂с/∂t = 0 и. следовательно, из уравнения (2) получаем

(4)

Для любого движения несжимаемой жидкости с = const и, следовательно

(5)

3. Уравнение движения вязкой жидкости в форме Навье-Стокса

Уравнение движения жидкости в напряжениях:

(6)

Согласно закону Ньютона вязкостные напряжения при прямолинейном движении жидкости пропорциональны скоростям угловых деформаций. Обобщением этого факта на случай произвольного движения является гипотеза о том, что касательные напряжения, а также зависящие от ориентации площадок части нормальных напряжений пропорциональны соответствующим скоростям деформаций. Иными словами, предполагается во всех случаях движения жидкости линейная связь между вязкостными напряжениями и скоростями деформаций. При этом коэффициент пропорциональности в формулах, выражающих эту связь, должен быть динамический коэффициент вязкости м. Воспользовавшись гипотезой, что в точке жидкости (она косвенно подтверждается на практике), можно написать выражения для нормальных и касательных напряжений в вязкой жидкости:

(7)

Внося в уравнение (6) выражения (7), получим

Группируя члены со вторыми производными, деля на с и используя оператор Лапласа, запишем:

(8)

Эти уравнения называются уравнениями Навье — Стокса; их используют для описания движений вязких сжимаемых жидкостей и газов.