Курсовая работа: Теоремы Силова
,
что, как было показано выше, влечёт равенства
, т.е.
.
Итак, каждый элемент группы G записывается, и притом единственным образом в виде .
Замечание
Нормальная силовская p-подгруппа P группы G характеристична в G, т.е. инвариантна при действии любого автоморфизма . Действительно,
, поэтому
- силовская р-подгруппа, и, стало быть,
, если
. Аналоги силовских подгрупп прослеживаются в алгебраических структурах, далёких от конечных групп.
Следствие
Если все делители | G | , кроме 1, после деления на p дают остаток, отличный от единицы, то в G есть единственная силовская p-подгруппа и она является нормальной (и даже характеристической).
Примеры силовских подгрупп.
Пример 1.
Аддитивная группа кольца вычетов разлагается в прямое произведение своих силовских p-подгрупп, которые являются циклическими подгруппами порядков
, если n имеет каноническое разложение n=
.
Пример 2.
Силовские p-подгруппы симметрических групп. Как мы знаем, Каков максимальный показатель e(n), при котором
делит n!? В последовательности 1,2,…,n кратными p будут числа p,2p,…,kp, где
, поэтому
. Так как
, то
Удобно разложить n по основанию p:
, тогда
Рассмотрим сначала группы , когда n степень p. Пусть в
уже найдена силовская p-подгруппа, т.е. подгруппа
порядка
. Построим по ней в
подгруппу
порядка
. Для этого разобьём переставляемые символы 1,2,…,
на последовательные отрезки длины
. Если
и x – подстановка на символах i-го отрезка, то легко сообразить, что
- подстановка на символах (i+1)-го отрезка (сложение по модулю p). Отсюда видно, что подгруппа, порождённая подгруппами
, является из прямым произведением, и, стало быть, подгруппа
, порожденная подгруппой
и элементом с, изоморфна сплетению
. Подгруппа
- искомая, так как
.
Одновременно мы видим, что силовская p-подгруппа в изоморфна последовательному сплетению (…(
циклической группы
с самой собою mраз.
Теперь пусть n произвольно. Разобьём символы 1,...,n на одноэлементных,
р-элементных и т.д. отрезков. На каждом из этих отрезков рассмотрим симметрическую группу – она будет некоторой степени
, а в ней возьмём силовскую p-подгруппу, построенную как выше. Так как эти подгруппы действуют на непересекающихся множествах, то их порождение
является их прямым произведением, а потому имеет порядок
Следовательно, - силовская p-подгруппа в
. Из построения видно, что она изоморфна прямому произведению нескольких последовательных сплетений типа (…(
.
Пример 3
Рассмотрим общие линейные группы над конечными полями. Пусть p – простое число, m, n – целые числа и
. Покажем, что
- силовская p-подгруппа группы
. Посчитаем порядки этих групп.
Какие n-ки над полем могут быть первой строкой невырожденной матрицы? Очевидно, любые, кроме нулевой, т. е.
штук. Если первая строка выбрана, то в качестве второй строки можно взять любую, не пропорциональную первой; таких строк
. Если две первые строки уже выбраны, то в качестве третьей можно взять любую строку, не зависящую линейно от первых двух; это дает
возможностей. И так далее. Значит,
.
Так как угловые элементы матриц пробегают независимо друг от друга всё поле, а всего угловых мест
, то
. Из сравнения порядков мы видим, что
- силовская p-подгруппа группы
.
Нахождение силовской подгруппы.
Проблема нахождения силовской подгруппы данной группы является важной задачей вычислительной теории групп. Для групп перестановок Уильям Кантор доказал, что силовская p-подгруппа может быть найдена за время, полиномиальное от размера задачи (в данном случае это порядок группы, помноженный на количество порождающих элементов).
ГЛАВА 2.РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПРИМЕНЕНИЕМ ТЕОРЕМ СИЛОВА
Задача 1.
Докажем, что группа порядка 350 не может быть простой.
Решение
, значит, силовская 5-подгруппа имеет порядок 25. N5 должно делить 14 и сравнимо с 1 по модулю 5. Этим условиям удовлетворяет только единица. Значит, в G одна силовская 5-подгруппа, а значит, она нормальна, и поэтому G не может быть простой.