Курсовая работа: Теоремы Силова

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При изучении абелевых групп видно, что их строение во многом определяется строением максимальных р-подгрупп. В теории конечных групп максимальные р-подгруппы также играют существенную роль. В этом курсовой были доказаны теоремы Силова о конечных группах: для каждой степени , делящей порядок группы, существует подгруппа порядка , причем если делит порядок группы, то всякая подгруппа порядка содержится в некоторой подгруппе порядка ; все максимальные р-подгруппы попарно сопряжены в группе, а их число сравнимо с 1 по модулю р. Эта теорема была доказана норвежским математиком Л. Силовом в 1872 году. В связи с этой теоремой и в честь ее автора максимальные р-подгруппы конечных (а часто и бесконечных) групп называются силовскими р-подгруппами.

Из теоремы Силова вытекает, в частности, что силовские р-подгруппы конечной группы — это в точности подгруппы порядка , где — максимальная степень р, делящая порядок группы. Отметим, что если число m делит порядок конечной группы G, но не является степенью простого числа, то в G может и не быть подгрупп порядка m — например, в знакопеременной группе А4 порядка 12 нет подгрупп порядка 6.

В теории групп теоремы Си́лова представляют собой неполный вариант обратной теоремы к теореме Лагранжа и для некоторых делителей порядка группы G гарантируют существование подгрупп такого порядка.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. А. И. Кострикин. Введение в алгебру, III часть. М.: Физматлит, 2001.

2. Э. Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал-Пресс, 2002.

3. М.И. Каргаполов, Ю.И. Мерзляков. Основы теории групп. М.:Наука, 1982.