Курсовая работа: Теоремы Силова

Найти силовские р-подгруппы в группе всех матриц с определителем 1 над полем из р элементов.

Решение.

Пусть - группа с определителем 1 над полем из р элементов. Из разложения

полной линейной группы в смежные классы по следует, что

(1)

Рассматривая как группу автоморфизмов двумерного векторного пространства V над , легко найти порядок . Действительно, действует на множестве пар базисных векторов. Образом может быть любой отличный от нуля вектор (их всего штук), а при всяком выборе образом может быть любой вектор из (таких векторов имеется штук). Стало быть, , что в сочетании с (1) приводит к формуле

По крайней мере две силовские р-подгруппы группы мы находим сразу:

, .

В соответствии с теоремой 3 имеем

а так как

и, следовательно, нормализатор содержит подгруппу

порядка p(p-1), то остаётся единственная возможность

.

Между группой

и симметрической группой непосредственно устанавливается изоморфизм

(обе группы имеют одинаковое задание образующими и соотношениями). При p>2 группа имеет центр порядка 2. Фактор- группа , которую естественно называть проективной специальной группой(она является группой преобразований проективной прямой ) , играет важную роль в алгебре со времён Галуа. Дело в том, что при p>3 группа простая, и это, наряду с ,- один из самых ранних примеров конечных простых групп.

Задача 3

Описать с помощью теоремы Силова все возможные типы групп порядка pq.

Решение

Пусть р, q — простые числа, р < q. Какой должна быть группа G порядка pq? Силовские р- и д-подгруппы из G, будучи подгруппами простого порядка, являются циклическими. Пусть (а), (b) — соответственно силовские р- и q-подгруппа. По теореме Силова число силовских q-подгрупп в G имеет вид 1+kq и делит pq, поэтому силовская q-подгруппа (b) единственна. В частности, она нормальна в G. Число силовских р-подгрупп имеет вид 1+кр и делит q, поэтому возможны два случая:

а) Силовская р-подгруппа (а) единственна. Тогда она нормальна и, значит,. Так как , то . Таким образом, в этом случае .

б) Имеется q силовских р-подгрупп. Конечно, это возможно лишь при условии . Пусть . Если r=1, то снова ,т. е. . Пусть . Индукцией по х получаем , откуда для всех целых х, у. При х=р, у=1 это дает , кроме того, получаем формулу умножения .

Обратно, легко проверить, что если , , , то эта формула умножения определяет неабелеву группу порядка pq. Наконец, решения сравнения составляют циклическую группу порядка р, поэтому те из них, которые, имеют вид , где r — одно из них. Все эти решения определяют одну и ту же группу, так как замена порождающего а на приводит к замене r на .