Курсовая работа: Вейвлет-анализ сигналов и его применение

Для создания НВП необходимо выполнить следующих пять шагов:

1. Взять вейвлет и установить его на начальный интервал исходного сигнала.

2. Вычислить коэффициент С, который показывает как тесно коррелированны вейвлет и сигнал на этом интервале. Высокое значение С означает большую схожесть. Заметьте, что результаты будут зависеть от формы вейвлета, выбранного Вами.

3. Сдвинуть вейвлет вправо и повторять шаг 1 и 2 до тех пор, пока Вы не исследуете весь сигнал.

4. Масштабировать (растянуть) вейвлет и повторить шаги 1 – 3.

5. Повторить шаги 1 – 4 для всех масштабов.

После выполнения данной последовательности, будут рассчитаны коэффициенты С , полученные для разных масштабов и разных интервалов сигнала.

Можно построить график, на котором ось абсцисс представляет позицию вдоль сигнала (время), ось ординат представляет масштаб, а цвет точек графика представляет значение вейвлет – коэффициентовС. Ниже представлены графики коэффициентов, выполненные с помощью графического инструментария.

Трёхмерное представление результатов расчёта – графики коэффициентов напоминают вид сверху на неровную (ухабистую) поверхность.

Это график коэффициентов непрерывного вейвлет преобразования сигнала во временной области. Этот вид информации о сигнале отличается от частотно-временного вида (Фурье), но они связаны.

Из графиков видно, что чем выше масштаб, тем «протяженнее» вейвлет. Чем протяженнее вейвлет, тем длиннее часть сигнала, с которой он сравнивается, и более крупные черты сигнала будут измерены вейвлет коэффициентами.

Таким образом, есть связь между масштабом вейвлет и частотой, как показано вейвлет анализом:

Малый масштаб а Þ Сжатый вейвлет Þ быстро изменяющиеся составляющие Þ высокая частота w .

Большой масштаб а Þ Растянутый вейвлет Þ медленно изменяющиеся, крупные черты Þ низкая частота w .

Непрерывное обратное вейвлет-преобразование

Обратное непрерывное вейвлет-преобразование осуществляется по формуле реконструкции во временной области. Одна из форм может быть представлена

где f ( t ) – восстановленный сигнал, y (t) – вейвлет-функция, С( t , a ) – вейвлет коэффициенты, которые являются функцией позиции t и масштаба a , K _y – коэффициент, зависящий от выбора вейвлет-функции,R – область ограничения сигнала.

3. Дискретное вейвлет преобразование

Дискретное вейвлет преобразование одномерного сигнала

Цифровая обработка сигнала требует его дискретизации. Как и в случае преобразования Фурье существует дискретная форма вейвлет преобразования. Выше было отмечена определенная степень свободы в выборе базиса вейвлет преобразования. В данном разделе нами будет использоваться один из самых простых вейлвет базисов – базис Хаара.

Рассмотрим дискретизированный и квантованный сигнал (сигнал 2.1) – рисунок 2.1 (а). Будем постепенно усреднять данный сигнал, усредняя попарно его отсчеты. Таким образом, каждый шаг усреднения будет сокращать разрешение сигнала в 2 раза (т.е. для его представления будет требоваться в два раза меньшее число отсчетов). Однако при таком усреднении мы теряем часть информации о сигнале, для того чтобы восстановить сигнал после усреднения нам потребуется дополнительная информация. Будем сохранять разности между усредненным отсчетом и отсчетами, из которых усредненный отсчет состоит при более высоком разрешении. Данные разности показывают детали сигнала – его флуктуации вокруг среднего при данном уровне разрешения. На рисунке 2.1 детализирующее коэффициенты показаны в правой части рисунков 2.1 (б, в, г, д). Теперь воспользовавшись детализирующими коэффициентами мы сможем восстановить прежнею форму сигнала.

Таким образом, для того чтобы перейти от одного, более низкого уровня разрешения к более детализированному уровню нам требуется знать усредненные отсчеты сигнала и детализирующие коэффициенты.

Заметим, что сигнал 2.1, изображенный на рисунке 2.1 (а), может быть представлен следующим образом – , где - некоторые базисные функции, а – координаты сигнала 2.1 в этом базисе. Очевидно, что если мы выберем в качестве единичную ступеньку, изображенную на рисунке 2.2 (а), то, сдвигая необходимое число раз, мы сможем представить сигнал 2.1 с помощью суммы таких единичных ступенек. Таким образом, мы ввели базис, в котором мы можем представить сигнал 2.1. Отметим, что поскольку функции, изображенные на рисунке 2.2, не пересекаются между собой, то построенный нами базис является ортогональным. Функции называются масштабирующими функциями.