Курсовая работа: Вивчення властивостей твердого тіла
Такий простий доказ справедливий у відсутність дисперсії, але насправді результат виявляється абсолютно загальним. Один із способів показати це – досліджувати вплив N-процесів на «зміщений» фононний розподіл, що задається формулою
(3.1)
У формулі (3.1) вектор u направлений так само, як і потік тепла, і представляє собою швидкість дрейфу. Розподіл відповідає рівноважному, але в системі координат, яка рухається з швидкістю u . Такий розподіл для одновимірного випадку показаний на рис. 3.1, так що з його асиметричного вигляду ясно, що існує потік тепла в праву сторону.
Вираз для швидкості зміни N (q ) внаслідок N-процесів, отримане в теорії збурень, містить вірогідність процесу, при якому фонон цієї моди з'являється як кінцевий продукт взаємодії, а також вірогідність процесу, при якому відбувається зникнення фонона цієї моди і в результаті з'являються два інших фонона. Якщо розглянути процес, при якому q1 + q2 → q3 , і відповідний зворотний процес, то швидкість зміни N (q1 ) визначається різницею між виразом від прямих процесів
і виразом від зворотних процесів
(такі вагові множники з'являються завжди в системах, що підкоряються статистиці Бозе – Ейнштейна).
Рис. 3.1. Одновимірний асиметричний розподіл фононів,
на який не впливають N-процеси.
Розподіл відповідає потоку тепла вправо. Воно описується формулою (2.1) при u = 0,1 ω/q, Т = 100К. По ординаті відкладено число фононів на одиничний інтервал q.
Якщо підставити формулу (3.1) для N (q ) в ці два вирази і взяти їх різницю, то просте обчислення приводить до результату:
він визначає швидкість зміни N (q1 ). Якщо умови (2.1) справедливі при g = 0, тобто мають місце тільки N-процеси, то видно, що швидкість зміни N (q1 ) перетворюється в нуль. Для всіх пар значень q2 і q3 , які можуть брати участь в N-процесах, виходить той же результат, як при процесах q1 → q2 + q3 , що впливають на число фононів q1 . Зміщений фононний розподіл, що визначається формулою (3.1) і відповідає ненульовому потоку тепла, таким чином, не змінюється внаслідок N-процесів.
Той же результат можна отримати і за допомогою варіаційного принципу. Для трифононних N-процесів чисельник перетвориться на вигляд:
(3.2)
Якщо записати
(3.3)
де u ' – довільний вектор, то чисельник міститиме вираз (q1 + q2 – q3 ) • u ' , яке обертається на нуль, якщо q1 + q2 = q3 . При такій пробній функції тепловий опір обертається на нуль, що, звичайно, відповідає мінімуму. Таким чином, за допомогою варіаційного принципу знову знаходимо, що у випадку тільки N-процесів теплопровідність нескінченна.
Легко показати, що для малих відхилень від рівноваги вираз для N (q ), отримуване за допомогою формули (3.3), співпадає з формулою (3.1). З формули (2.1) маємо
для випадку, коли мало, можна написати
Підставляючи , знаходимо
Обидва ці вирази співпадають, якщо ħu = u'. Значення u і u' довільні й визначаються величиною потоку тепла; для заданого потоку тепла відхилення від рівноважного розподілу співпадають в обох випадках.