Курсовая работа: Вивчення властивостей твердого тіла

4. ОБЛІК НОРМАЛЬНИХ ПРОЦЕСІВ

4.1 Релаксаційний метод

У простій формі релаксаційного методу передбачається, що кожен механізм розсіяння характеризується часом релаксації, який для даної моди не залежить від населеності фононів у всіх інших модах. Якщо є декілька механізмів розсіяння, то швидкості , , ... складаються і сумарний час релаксації τ(х ), визначається виразом

Цей вираз стає, звичайно, складнішим, якщо не користуватися спрощуючими припущеннями теорії Дебая про відсутність дисперсії і квадратичний закон для щільності мод: f (ω) ~ ω² .

Оскільки N-процеси самі по собі не приводять до встановлення рівноважного розподілу фононів, то вони не можуть входити в суму для τ(х ) на тих же підставах, що і процеси, що ведуть до встановлення рівноваги (резистивне розсіяння). Проте ними не можна нехтувати, оскільки, перерозподіляючи енергію між модами, вони роблять відчутним для всіх мод наявність резистивних процесів розсіяння, залежних від частоти.

Для аналізу експериментальних даних по теплопровідності широко використовується розгляд Каллуея. Він припустив, що N-процеси переводять будь-який розподіл фононів, що відповідає деякому потоку тепла, в розподіл, визначуваний формулою (3.1), відповідний тому ж потоку тепла і далі вже не змінний внаслідок N-процесів. Час релаксації для таких процесів є τ_N (для простоти залежність часу релаксації від q , поляризації і температури не указується). Повна швидкість зміни N (q ) дається тоді виразом

де у величину τ_R вносять внесок тільки процеси, що приводять до встановлення рівноважного розподілу N ⁰ (q ). У моделі Дебая Каллуей, ввівши комбінований час релаксації , отримав наступний вираз для теплопровідності:

(4.1.1)

де

(4.1.1.а)

і

(4.1.1.б)

Цей результат, як видно, знаходиться відповідно до твердження про те, що нормальні процеси впливають на теплопровідність, але трохи інакше, ніж чисто резистивні процеси. У формулу для ϰ₁ нормальні процеси входять на тих же підставах, як і інші процеси, оскільки між ними не робиться ніякої відмінності у виразі для τ_С . Тому зазвичай вважається, що ϰ₁ дає занижену оцінку теплопровідності, проте є другий член ϰ₂ , який декілька заповнює її «втрату».

Для пояснення експериментальних результатів часто необхідно користуватися повною формулою (4.1.1); обчислення, проте, дуже громіздкі, і корисно розглянути загальні результати, які виходять в трьох граничних випадках.

1) Випадок переважання резистивного розсіяння

Для кристала з великою кількістю дефектів всі моди сильно розсіваються унаслідок резистивних процесів; тоді для всіх мод τ_N >> τ_R , отже, τ_C ≈ τ_R . У такому разі ϰ₂ << ϰ₁ (якісно це можна зрозуміти, припустивши, що всі часи релаксації не залежать від частоти, тому при порівнянні ϰ₁ та ϰ₂ інтеграли скорочуються і ми маємо ϰ₂ / ϰ₁ = τ_R /τ_N << 1). Пізніше буде видно, що це порівняльно простий вираз придатний для аналізу експериментальних даних по теплопровідності не дуже ідеальних кристалів.

2) Випадок переважання N-процесів за наявності резистивного розсіяння

В цьому випадку час релаксації τ_C головним чином визначається N-процесами; тоді τ_R >> τ_N і τ_C ≈ τ_N . Звідси легко побачити, що ϰ₂ >> ϰ₁ (якісно це можна зрозуміти, припустивши незалежність часів релаксації від частоти, і отримати ϰ/ϰ₁ = τ_R /τ_N >> 1). Для коефіцієнта теплопровідності тоді маємо

Перш за все дивно, що формула (4.1.2), яка визначає теплопровідність у разі переважання N-процесів, не містить τ_N . Проте N-процеси впливають на розподіл фононів і приводять його до форми (3.1). Коли N-процеси грають домінуючу роль, розподіл фононів стає «зміщеним» і не залежить від інтенсивності N-процесів. Тепловий опір виникає внаслідок резистивних процесів, що діють на цей розподіл.

Інший цікавий аспект формули (4.1.2) видно, якщо з її допомогою записати тепловий опір:

(4.1.3)

Для певного кристала при заданій температурі знаменник виразу (4.1.3) постійний. Оскільки – сума швидкостей розсіяння для всіх типів резистивних процесів, то видно, що , де W_i – тепловий опір, відповідний кожному резистивному процесу i , що діє окремо, але за умови переважання N-процесів. У загальному випадку тепловий опір неаддитивний, оскільки у формулі для ϰ₁ швидкості релаксації складаються в знаменнику інтеграла (комбінований релаксаційний час міститься в чисельнику), а, крім того (за винятком розглянутого тут граничного випадку), формула для ϰ₂ дуже складна і не приводить до такого простого результату.

Представляючи функції від ϰ, що входять в (4.1.3), через С( ϰ) і повну теплоємність С і проводячи прості арифметичні дії, запишемо вираз (4.1.3) у вигляді

(4.1.4.а )