Курсовая работа: Визуализация численных методов

При этом xi называют узлами решётки.

Задача Коши, определённая ранее на непрерывном отрезке [x0,X], заменяется её дискретным аналогом – системой уравнений, решая которую можно последовательно найти значения y1,y2,...,yn – приближённые значения функции в узлах сетки.

1.1 Метод Эйлера

Данный метод, как сказано выше, является одношаговым. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчёта значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

y`=f(x,y)

с начальным условием

y(x0)=y0.

Выберем шаг h и введём обозначения:

xi=x0+i*h и yi=y(xi), где i=0,1,2,...,

xi- узлы сетки,

yi- значение интегральной функции в узлах.

Иллюстрации к решению приведены на рисунке 2.

Проведём прямую АВ через точку (xi,yi) под углом α. При этом

tgα=f(xi,yi) (1)

В соответствии с геометрическим смыслом задачи, прямая АВ является касательной к интегральной функции. Произведём замену точки интегральной функции точкой, лежащей на касательной АВ.

Тогда

y i+1=yi+Δy (2).

Из прямоугольного треугольника АВС

tgα= Δy/h (3).

Приравниваем правые части (1) и (3). Получим

Δy/h= f(xi,yi).

Отсюда

Δy= f(xi,yi)*h.

Подставим в это выражение формулу (2), а затем преобразуем его. В результате получаем формулу расчёта очередной точки интегральной функции:

y i+1=yi+ h*f (xi,yi) (4).

Из формулы (4) видно, что для расчёта каждой следующей точки интегральной функции необходимо знать значение только одной предыдущей точки. Таким образом, зная начальные условия, можно построить интегральную кривую на заданном промежутке.