Курсовая работа: Задача о коммивояжере и ее обобщения

Следует подчеркнуть, что не каждый «жадный» алгоритм позволяет получить оптимальный результат в целом. Как нередко бывает в жизни, «жадная стратегия» подчас обеспечивает лишь сиюминутную выгоду, в то время как в целом результат может оказаться неблагоприятным.

Существуют задачи, для которых ни один из известных «жадных» алгоритмов не позволяет получить оптимального решения; тем не менее имеются «жадные» алгоритмы, которые с большой вероятностью позволяют получать «хорошие» решения. Нередко вполне удовлетворительным можно считать «почти оптимальное» решение.

3. ГЕНЕТИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ

Генетический алгоритм — это алгоритм, который позволяет найти удовлетворительное решение к аналитически неразрешимым проблемам через последовательный подбор и комбинирование искомых параметров с использованием механизмов, напоминающих биологическую эволюцию. Является разновидностью эволюционных вычислений. Отличительной особенностью генетического алгоритма является акцент на использование оператора «кроссовера», который производит операцию, роль которой аналогична роли скрещивания в живой природе. «Отцом-основателем» генетических алгоритмов считается Джон Холланд, книга которого «Адаптация в естественных и искусственных системах» является основополагающим трудом в этой области исследований.

Задача кодируется таким образом, чтобы её решение могло быть представлено в виде вектора («хромосома»). Случайным образом создаётся некоторое количество начальных векторов («начальная популяция»). Они оцениваются с использованием «функции приспособленности», в результате чего каждому вектору присваивается определённое значение («приспособленность»), которое определяет вероятность выживания организма, представленного данным вектором. После этого с использованием полученных значений приспособленности выбираются вектора (селекция), допущенные к «скрещиванию». К этим векторам применяются «генетические операторы» (в большинстве случаев «скрещивание» - crossover и «мутация» - mutation), создавая таким образом следующее «поколение». Особи следующего поколения также оцениваются, затем производится селекция, применяются генетические операторы и т. Д. Так моделируется «эволюционный процесс», продолжающийся несколько жизненных циклов (поколений), пока не будет выполнен критерий останова алгоритма. Таким критерием может быть: нахождение глобального, либо субоптимального решения; исчерпание числа поколений, отпущенных на эволюцию; исчерпание времени, отпущенного на эволюцию. Генетические алгоритмы служат, главным образом, для поиска решений в очень больших, сложных пространствах поиска.

Таким образом, можно выделить следующие этапы генетического алгоритма:

создание начальной популяции;

вычисление функций полезности для особей популяции (оценивание);

выбор индивидов из текущей популяции (селекция);

скрещивание и\или мутация;

вычисление функций полезности для всех особей;

формирование нового поколения;

если условия совпали, то решение найдено (конец цикла), если нет, то цикл повторяется.

Применяются генетические алгоритмы для решения следующих задач:

оптимизация функций, разнообразные задачи на графах (задача коммивояжера, раскраска, нахождение паросочетаний), настройка и обучение искусственной нейронной сети, задачи компоновки, составление расписаний, игровые стратегии, аппроксимация функций, искусственная жизнь, биоинформатика (свёртывание белков).

4. NP -ПОЛНАЯ ЗАДАЧА

Все эффективные (сокращающие полный перебор) методы решения задачи коммивояжёра — методы эвристические («жадные алгоритмы»). В большинстве эвристических методов находится не самый эффективный маршрут, а приближённое решение. Зачастую востребованы так называемые any-time алгоритмы, то есть постепенно улучшающие некоторое текущее приближенное решение.

Задача коммивояжёра есть NP-полная задача. Часто на ней проводят обкатку новых подходов к эвристическому сокращению полного перебора.

В теории алгоритмов NP-полные задачи — это класс задач, лежащих в классе NP (то есть для которых пока не найдено быстрых алгоритмов решения, но проверка того, является ли данное решение правильным, проходит быстро), к которым сводятся все задачи класса NP.

Назовём языком множество слов над алфавитом Σ. Задачей здесь является определение того, принадлежит данное слово языку или нет. Язык L₁ называется сводимым (по Карпу) к языку L₂ , если существует функция, вычислимая за полиномиальное время, обладающая следующим свойством: f(x) принадлежит L₂ тогда и только тогда, когда x принадлежит L₁ . Язык L₂ называется NP-трудным, если любой язык из класса NP сводится к нему. Язык называют NP-полным, если он NP-труден и при этом сам лежит в классе NP. Таким образом, если будет найден алгоритм, решающий хоть одну NP-полную задачу за полиномиальное время, все NP-задачи будут лежать в классе P.

Равенство классов P и NP уже более 30 лет является открытой проблемой. Научное сообщество склоняется к отрицательному решению этого вопроса — в этом случае за полиномиальное время решать NP-полные задачи не удастся.

5. МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ

Существует метод решения задачи коммивояжера, который дает оптимальное решение. Этот метод называется методом ветвей и границ.

Основа этого, ныне широко распространенного метода состоит в построении нижних оценок решения, которые затем используются для отбраковки неконкурентоспособных вариантов.

Функция f ( x_i , x_j ) принимает конечное число значений с _ij , которые мы можем представить в виде таблицы (Рисунок 5.1). Предположим, что мы выбрали некоторый путь S_s . Его длина будет равна

(5.1)

причем сумма (5.1) распространена по i , j так, что каждый из индексов встречается в ней один и только один раз. Величины с _ij с двумя одинаковыми индексами мы приняли равными ∞.

Так как в каждый из вариантов s входит только один элемент из каждой строки и столбца, то мы можем проделать следующую операцию, которая здесь называется приведением матрицы. Обозначим через h_i наименьший элемент из строки номера i и построим новую матрицу С⁽¹⁾ с элементами

Матрица С⁽¹⁾ определяет новую задачу коммивояжера, которая, однако, в качестве оптимальной будет иметь ту же последовательность городов. Между величинами l_s и l_s ⁽¹⁾ будет существовать, очевидно, следующая связь: