7.1 Курсова робота приймається комісією в складі двох викладачів за участю керівника роботи.

7.2 Програма перевіряється шляхом тестування на комп’ютері тестових завдань, розроблених замовником і виконавцем роботи.

8. Додаткові відомості.

Дане ТЗ може змінюватись і корегуватись за спільною домовленістю замовника та виконавця.

ТЕОРЕТИЧН І ВІДОМОСТІ. ІНТЕРПОЛяція ФУНКЦІЙ

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ ІНТЕРПОЛЯЦІЇ

Нехай деяка функція у=f(х) задана таблицею (табл.1), тобто при значеннях аргументу х=х₀ , х₁ , ... , х_n функція f(х) приймає відповідні значення

у₀ , у₁ ,... , у_n .

Таблиця 1

Таблиця експериментальних значень

x	x0	x1	x2	....	xn
y	y0	y1	y2	....	yn

Також нехай необхідно визначити значення у=f(х) , (х_i-1 <<х_i ). Величина х= потрапляє між двома табличними значеннями, тому для обчислення значення функції необхідно запропонувати деякий характер її зміни між відомими експериментальними даними.

Інтерполяцію можна розглядати як процес визначення для даного аргументу х значення функції у=f(х) по її декількох відомих значеннях. При цьому розрізняють інтерполяцію у вузькому смислі , коли х знаходиться між x₀ і x_n , і екстраполювання ,коли х знаходиться поза відрізком інтерполяції [x₀ , x_n ].

Задача інтерполяції полягає в наступному. На відрізку [а, b] задані n+1 точки х₀ , х₁ , ... , х_n , що називаються вузлами інтерполяції , і значення деякої функції f(x) у цих точках.

f(x₀ ) = y₀ ;

f(x₁ ) = y₁ ;(1)

f(x_n ) = y_n

Потрібно побудувати функцію Р_n (х) (інтерполюючу функцію ), яка б задовольняла таким умовам:

P_n (x₀ ) = y₀ ;

P_n (x₁ ) = y₁ ;(2)

P_n (x_n ) = y_n

тобто інтерполююча функціяР_n (х) повинна приймати ті ж значення, що і функція f(х) , яку ми визначаємо (що інтерпелюється), для вузлових значень аргументу х₀ , х₁ , ... , х_n .

Геометрично це означає, що потрібно знайти криву y=P_n (х) деякого визначеного типу, що проходить через задану систему точок М_i (х_i ,у_i ) (i=0,1,2,..,n). Очевидно, можна побудувати множину неперервних функцій, що будуть проходити через задані вузлові точки.[1]

Заміна функції f(х) її інтерполяційним багаточленом Р_n (x) може знадобитися не тільки тоді, коли відома лише таблиця її значень, але і коли аналітичний вираз для f(х) відомо, проте є занадто складним і незручним для подальших математичних перетворень (наприклад, для інтегрування, диференціювання та ін.). Іноді розглядаються задачі тригонометричної інтерполяції (інтерполююча функція – тригонометричний поліном). Інтерполюючою може бути також раціональна функція.

У загалі залежність, якої підпорядковується функція, може бути апроксимована багаточленом ступеня n:

Р_n (x) = y = a₀ + a₁ ∙ x + a₂ ∙ x² + ... + a_n ∙ xⁿ . (3)

Таку задачу називають задачею параболічної інтерполяції (або інтерполюванням).

Загалом є багато інтерполяційних формул та методів. До них відносяться такі: інтерполяційні формули Гауса (дві), Стерлінга та Бесселя (які є похідними від формул Гауса), Ньютона (дві) та багато інших.

2. ПАРАБОЛІЧНА ІНТЕРПОЛЯЦІЯ

Для визначення коефіцієнтів багаточлена (3) необхідно мати n+1 вузлову точку. Аналітичне визначення коефіцієнтів інтерполяційного багаточлена для n+1точки зводиться до рішення системи лінійних рівнянь n+1 порядку, кожне з яких являє собою вираз (3), записаний для визначеної вузлової точки

y_i = a₀ + a₁ ∙ x_i + a₂ ∙ x_i ² + ... + a_n ∙ x_i ⁿ ,(4)

де i = 1, 2,. . . n+1.

Даним методом побудови інтерполяційного поліному зручно користуватися, маючи персональний комп’ютер і відповідні програми. Даний метод не є єдиним способом побудови інтерполяційного поліному. Інший підхід, яким часто користуються на практиці, називається методом Лагранжа.[2]

3. МЕТОД ЛАГРАНЖА

Нехай при х=х₀ , х₁ , ... , х_n функція f(х) приймає відповідно значення у₀ , у₁ ,... , у_n . Багаточлен ступеня не вище n , що приймає у вузлових точках задані значення, має вид: