Курсовая работа: Знаходження значення функції за допомогою інтерполяційної формули Бесселя
Цей багаточлен (5) називається інтерполяційною формулою Лагранжа і має такі властивості:
1. При заданій сукупності вузлових точок будова багаточлена можлива тільки єдиним способом.
2. Багаточлен Лагранжа може бути побудовано при будь-якому розташуванні вузлів інтерполяції (включаючи і нерівномірне).
У розгорнутому виді форма Лагранжа має вид:
Рn (х)= 
+
+
+
+ … + 
+
+ … + 
.(6)
При n=1 формула Лагранжа має вид:
Р(х) =
(7)
і називається формулою лінійної інтерполяції.
При n=2 одержимо формулу квадратичної інтерполяції:
Р(х)=
. (8)
4. ЗВОРОТНА ІНТЕРПОЛЯЦІЯ
Нехай функція у= f(х) задана таблицею. Задача зворотної інтерполяції полягає в тому, щоб по заданому значенню функції у визначити відповідне значення аргументу х .
Якщо вузли інтерполяції x0 , x1 , x2 , … xn нерівновіддалені, задача легко вирішується за допомогою інтерполяційної формули Лагранжа (5). Для цього достатньо прийняти у за незалежну змінну, а х вважати функцією. Тоді отримаємо
x = 
(9)
Розглянемо тепер задачу зворотної інтерполяції для випадку рівновіддалених вузлів інтерполяції. Припустимо, що функція f(х) монотонна і дане значення у знаходиться між y0 =f(x0 ) і y1 = f(x1 ).
Замінюючи функцію у=f(x) першим інтерполяційним багаточленом Ньютона, одержимо:
y = y0 + q Dy0 + 
D2 y0 + 
D3 y0 +…+ 
Dn y0 .
Звідси
q = 
D2 y0 
– …–Dn y0 
,
тобто q=j(q).
Розмір q визначаємо методом послідовних наближень як границю послідовності:
q = 
,
де qi = j (qi–1 ) (i=1, 2,…).
За початкове наближення приймаємо
q0 = 
(10)
Для i-го наближення маємо:
qi = q0 – D2 y0 
– …–Dn y0 
. (11)