уравнение представляется в виде

которому соответствует модель, изображенная на рис.П.2.2.

Рис. П.2.2 Блок-схема системы фазовой автоподстройки частот

В схеме, полученной на основе математической модели, по отношению к схеме на основе физической модели, перемножитель заменяется вычитающим устройством и синусоидальной нелинейностью, а управляемый генератор - интегратором. Последняя из упомянутых замен означает, что фаза выходного сигнала управляемого генератора пропорциональна интегралу управляющего сигнала. Следует заметить также, что усиление петли регулирования возрастает при возрастании амплитуды принятого сигнала. Если фаза принятого сигнала q ( t) известна, то фазовую ошибку j (t) можно найти, решив нелинейное интегро-дифференциальное уравнение.

Линейное приближение и переходный процесс

Если фазовая ошибка j (t) равна нулю, то говорят, что произошел "захват" фазы в системе фазовой автоподстройки частоты.

Если ошибка j (t) все время мала по сравнению с 1 рад, то можно воспользоваться приближением , которое дает ошибку менее 5%. В этом случае говорят, что система регулирования близка к захвату фазы, а синусоидальную нелинейность может быть аппроксимирована линейной зависимостью.

В этом случае работа системы описывается линейным уравнением, которое получается при замене sinφ на φ в интегро-дифференциальном уравнении

которое в предположении, что преобразования Лапласа существуют, в операторной форме имеет вид

где F (p) - передаточная функция линейного фильтра, а j (р) - преобразование Лапласа для j (t), q ( p) - преобразование Лапласа для q ( t).

Уравнению соответствует блок-схема, изображенная на рис. П.2.3.

j(p)

q1 (p)

q2 (p)

1/p

F(p)

Рис. П.2.3 Линейная модель системы фазовой автоподстройки частот

Из интегро-дифференциального уравнения в операторной форме нетрудно получить выражения для величины фазовой ошибки φ (р) и фазы θ₂ (р) выходного сигнала ГУН, обеспечивающего слежения за изменениями фазы входного сигнала θ₁ (р)

Отношение Н (р) = θ₂ (р) / θ₁ (р) и равное

называется передаточной функцией замкнутой петли регулирования. Используя ее, получим следующие соотношения между j (p), q₁ (p), q₂ (p):

,

.

Результат обратного преобразования:

называется импульсной переходной функцией замкнутой петли регулирования. Если F ( p) является рациональной функцией, то Н (p) - также рациональная функция. Условие устойчивости приводит к требованию, чтобы нули функции [1 + A K F (p) /p] находились в левой полуплоскости. Выполнив обратное преобразование над θ₂ (р) и φ (р), получим