Лабораторная работа: Интерполяция функций 2

Полагая x=x₀ , находим a₀ =P(x₀ )=y₀ ;

Далее подставляя значения x₁ , x₂ , ...,x_n получаем:

a₁ =Δy₀ /h

a₂ =Δ² y₀ /2!h²

a₃ =Δ³ y₀ /3!h³

....................

a_n =Δⁿ y₀ /n!hⁿ

Такимобразом:
Pn(x)=y₀ + Δy₀ /h*(x-x₀ )+ Δ² y₀ /2!h² *(x-x₀ )(x-x₁ )+...+ Δⁿ y₀ /n!hⁿ *(x-x₀ )(x-x₁ )...(x-x_{n -1} ) (1)

Практически формула (1) применяется в несколько ином виде:

Возьмем: t=(x-x₀ )/h, тогда x=x₀ +th и формула (1) переписывается как:

P_n (x)=y₀ +t Δ y₀ + t(t-1) / 2! Δ ² y₀ +...+ t(t-1)...(t-n+1) / n! Δ ⁿ y₀ (2)

Формула (2) называется интерполяционнойформулой Ньютона.

Погрешность метода Ньютона оценивается следующим образом:

(3)

Интерполяция сплайнами.

При большом количестве узлов интерполяции сильно возрастает степень интерполяционных многочленов, что делает их неудобными для проведения вычислений.

Высокой степени многочленов можно избежать, разбив отрезок интерполирования на несколько частей, с построением в каждой части своего интерполяционного полинома. Такой метод называется интерполяцией сплайнами. Наиболее распространенным является построение на каждом отрезке [x_i , x_{i +1} ], i=0..n-1 кубической функции. При этом сплайн – кусочная функция, на каждом отрезке заданная кубической функцией, является кусочно-непрерывной, вместе со своими первой и второй производной.

Будем искать кубический сплайн на каждом из частичных отрезков [x_i , x_{i +1} ] в виде:

, где a_i ,b_i ,c_i ,d_i – неизвестные.

Из того что S_i (x_i )=y_i получим:

В силу непрерывности потребуем совпадения значений в узлах, т.е.:

,i=0..n-1; (1)

Также потребуем совпадения значений первой и второй производной:

,i=0..n-2; (2)

,i=0..n-2; (3)

Из (1) получим n линейных уравнений с 3n неизвестными

,i=0..n-1; (1*)

Из (2) и (3) получим 2(n-1) линейных уравнений с теми же неизвестными:

,i=0..n-1; (2*)

,i=1..n-1; (3*)

Недостающие два уравнения определим следующим образом. Предположим, что в точках х₀ и х_n производная равна нулю и получим еще два уравнения. Получим систему из 3*n линейных уравнений с 3*n неизвестными. Решим ее любым из методов и построим интерполяционную функцию, такую что на отрезке [x_i , x_{i +1} ] она равна S_i .

Метод Лагранжа

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

type tip=array of real;

var x,y:tip;

i,j,n:byte;

p,s,xx:real;