Лабораторная работа: Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений

Кафедра: Автоматика и информационные технологии

"ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ"

Екатеринбург 2006

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ

Одной из самых распространенных и важных задач вычислительной математики является решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + … + a_1n x_n = b₁

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + … + a₂₁ x_n = b₂

……………………………………. .

a_n1 x₁ + a_n1 x₂ +… + a_nn x_n = b_{n ,}

или в векторно-матричном виде:

Ax = B, (1)

где

а11 а12 ......а1n

а21 а22 -… .. а2n

А = ................

аn1 аn2 … . ann

b1

b2

B =

bn

x1

x2

x =

xn

Итерационные методы решения СЛАУ используются для решения СЛАУ большой размерности с разреженными матрицами, а также для уточнения решения СЛАУ, полученного с помощью прямого метода. Формулировка и применение итерационных методов требует определенных знаний и определенного опыта. Выбор эффективного итерационного метода решения конкретной задачи существенно зависит от ее характерных свойств и от архитектуры вычислительной машины, на которой будет решаться задача. Поэтому никаких общих правил выбора наилучшего итерационного метода решения не существует. Метод простой итерации приведен здесь как иллюстрация действия механизма вычисления решения на основе итерационной процедуры.

Суть метода состоит в следующем. От системы уравнений вида Ах = в (2) переходят к системе уравнений

x=Dх + С (3)

Например, от системы уравнений

а₁₁ х₁ +а₁₂ х₂ +а₁₃ х₃ =в₁

а₂₁ х₁ +а₂₂ х₂ +а₂₃ х₃ =в_{2 (} 4)

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--