Лабораторная работа: Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений

можно перейти к виду (3), выразив из первого уравнения х₁ , из второго - х₂ , из третьего - х₃ :

х₁ = - а₁₂ /а₁₁ х₂ - а₁₃ /а₁₁ х₃ +в₁ /а₁₁

х₂ = - а₂₁ /а₂₂ х₁ - а₂₃ /а₂₂ х₃ +в₂ /а_{22 (} 5)

х₃ = - а₃₁ /а₃₃ х₁ - а₃₂ /а₃₃ х₂ + в₃ /а₃₃

Приведение исходной системы уравнений в виду (3) можно осуществить различными способами. Например, в СЛАУ (4) из первого уравнения можно выразить х₂ , из второго - х₁ , из третьего - х₃ и, переставив уравнения для сохранения порядка следования переменных в векторе решения х, снова прийти к виду (3). Естественно, что матрица D и вектор с будут уже иными. Возможны и другие способы преобразования исходных уравнений.

После преобразования (2) к виду (3) назначается нулевое приближение решения х ^(0):

х₁ ⁽⁰⁾

х ⁽⁰⁾ = х₂ ⁽⁰⁾

х₃ ^(0).

Если приблизительно известны значения х_i вектора решения х, то они выбираются в качестве нулевого приближения, если нет, то в качестве вектора х ⁽⁰⁾ выбирается любой вектор, например х ⁽⁰⁾ =С.

Первый шаг итерационного процесса состоит в вычислении приближения х ^(1):

х ⁽¹⁾ = Dx ⁽⁰⁾ +С.

Например, назначив х ⁽⁰⁾ и подставив его в систему уравнений (3), получим:

х₁ ⁽¹⁾ = - а₁₂ /а₁₁ х ^{(0) -} а₁₃ /а₁₁ х₃ ⁽⁰⁾ +в₁ /а₁₁

х₂ ⁽¹⁾ = - а₂₁ /а₂₂ х₁ ^{(0) -} а₂₃ /а₂₂ х₃ ⁽⁰⁾ +в₂ /а₂₂

х₃ ⁽⁰⁾ = - а₃₁ /а₃₃ х₁ ^{(0) -} а₃₂ /а₃₃ х₂ ⁽⁰⁾ +в₃ /а_33.

Далее вычисляем:

х ⁽²⁾ = Dx ⁽¹⁾ +C

х ^(к) =Dх ^(к-1) +С

и т.д.

Достаточное условие сходимости метода итерации заключается в следующем, если норма матрицы D (обозначается ║D║) меньше 1, то система уравнений (3) имеет единственное решение х^* и итерации сходятся к этому решению со скоростью геометрической прогрессии Иными словами, если

║D║<1, (6)

то

ℓim ║х ^{(к) -} х^* ║= 0

^к→∞

и выполняется тождество

х^* =Dх^* +С.

В качестве нормы матрицы D используются нормы ║D║₁ или

║D║_∞ : _n