Математика / Лабораторная работа: Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений

Лабораторная работа: Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений

j i=1

n

║D║∞ = max ∑ | dij |.

i j=1

Аналогично вводятся нормы вектора х:

n

║х║1 = ∑ |хi |

i=1

║х║∞ = max |xi |.

i

Из условия сходимости (6) ясно, что не всякое преобразование исходной системы (2) к виду (3) позволит получить решение уравнения на основе итерационного процесса, а только такое, которое обеспечит выполнение условия ║D║<1. Важно иметь в виду, что при выполнении этого условия итерационный процесс сходится для любого начального приближения х (0) и выбор х (0) =С диктуется просто соображениями удобства назначения х (0).

Если задана допустимая погрешность вычислений Δ, то для оценки погрешности к - го приближения широко используется следующее неравенство:

║х (к) - х*║≤║D║ ∕ (1-║D║) •║х (к) - х (к-1) ║<Δ (7)

Из этого неравенства следует критерий окончания итерационного процесса

║х (к) - х (к-1) ║ < (1-║ D║) •∆ ∕ ║D║ (8)

Каждый раз при вычислении очередного приближения х (k) проверяется выполнение неравенства (8).

Выполнение неравенства (8) означает выполнение неравенства

║х (к) - х* ║ < ∆

и, следовательно, прекращение итерационного процесса.

ЗАДАНИЕ НА ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

Проверить выполнение условия сходимости итерационного процесса.

Найти решение СЛАУ, задавая различные значения вектора начального приближения к решению x (0) и фиксируя количество итераций, необходимых для достижения решения с заданной точностью.

Построить графики xi ( k), i=1, n решения в зависимости от номера итерации k.

Варианты заданий к теме "Решение СЛАУ методом итераций"

№ варианта D C
1 0.23 -0.04 0.21 -0.18 1.24
0.45 -0.23 0.06 0.00 -0.88
0.26 0.34 -0.11 0.00 0.62
0.05 -0.26 0.34 -0.12 -1.17
2 0.21 0.12 -0.34 -0.15 -0.64
0.34 -0.08 0.17 -0.18 1.42
0.16 0.34 0.15 -0.31 -0.42
0.12 -0.25 -0.08 0.25 0.83
3 0.32 -0.18 0.02 0.21 1.83
0.16 0.12 -0.14 0.27 0.65
0.37 0.27 -0.02 -0.24 2.23
0.12 0.21 -0.18 0.25 -0.13
4 0.42 -0.52 0.03 0.00 0.44
0.31 -0.25 -0.36 0.00 1.42
0.10 0.08 -0.14 -0.24 -0.83
0.15 -0.35 -0.18 0.00 -1.42
5 0.18 -0.34 -0.12 0.15 -1.33
0.11 0.23 -0.45 0.32 0.84
0.05 -0.12 0.14 -0.18 -1.16
0.12 0.08 0.06 0.00 0.57
6 0.13 0.23 -0.44 -0.05 2.13
0.24 0.00 -0.31 0.15 -0.18
0.06 0.15 0.00 -0.23 1.44
0.52 -0.08 -0.05 0.00 2.42
7 0.17 0.31 -0.18 0.22 -1.71
-0.21 0.00 0.33 0.22 0.62
0.32 -0.18 0.05 -0.19 -0.89
0.12 0.28 -0.14 0.00 0.94
8 0.13 0.27 -0.22 -0.18 1.21
-0.21 0.00 -0.35 0.18 -0.33
0.12 0.13 -0.33 0.10 -0.48
0.33 -0.05 0.05 -0.28 -0.17

Варианты заданий к теме "Решение СЛАУ методом итераций"

№ варианта D C
9 0.19 -0.07 0.38 -0.21 -0.81
-0.22 0.08 0.11 0.33 -0.64
0.51 -0.07 0.09 -0.11 1.71
0.33 -0.41 0.00 0.00 -1.21
10 0.00 0.22 -0.11 0.31 2.70
0.38 0.00 -0.12 0.22 -1.50
0.11 0.23 0.00 -0.51 1.20
0.17 -0.21 0.31 0.00 -0.17
11 0.07 -0.08 0.11 -0.18 -0.51
0.18 0.52 0.00 0.21 1.17
0.13 0.31 0.00 -0.21 -1.02
0.08 0.00 -0.33 0.28 -0.28
12 0.05 -0.06 -0.12 0.14 -2.17
0.04 -0.12 0.68 0.11 1.40
0.34 0.06 -0.06 0.44 -2.10
0.11 0.12 0.00 -0.03 -0.80
13 0.08 -0.03 0.00 -0.04 -1.20
0.00 0.51 0.27 -0.08 0.81
0.33 -0.37 0.00 0.21 -0.92
0.11 0.00 0.03 0.58 0.17
14 0.12 -0.23 0.25 -0.16 1.24
0.14 0.34 -0.18 0.24 -0.89
0.33 0.03 0.48 -0.32 1.15
0.12 -0.05 0.00 0.15 -0.57
15 0.23 -0.14 0.06 -0.12 1.21
0.12 0.00 0.32 -0.18 -0.72
0.08 -0.12 0.23 0.32 -0.58
0.25 0.22 0.14 0.00 1.60
16 0.14 0.23 0.18 0.17 -1.42
0.12 -0.14 0.08 0.09 -0.83
0.16 0.24 0.00 -0.35 1.21
0.23 -0.08 0.55 0.25 0.65

Варианты заданий к теме "Решение СЛАУ методом итераций"

№ варианта D C
17 0.24 0.21 0.06 -0.34 1.42
0.05 0.00 0.32 0.12 -0.57
0.35 -0.27 0.00 -0.05 0.68
0.12 -0.43 0.34 -0.21 -2.14
18 0.17 0.27 -0.13 -0.11 -1.42
0.13 -0.12 0.09 -0.06 0.48
0.11 0.05 -0.02 0.12 -2.34
0.13 0.18 0.24 0.43 0.72
19 0.00 0.28 -0.17 0.06 0.21
0.52 0.00 0.12 0.17 -1.17
0.17 -0.18 0.21 0.00 -0.81
0.11 0.22 0.03 0.05 0.72
20 0.15 0.05 -0.08 0.14 -0.48
0.32 -0.43 -0.12 0.11 1.24
0.17 0.06 -0.08 0.12 1.15
0.21 -0.16 0.36 0.00 -0.88
21 0.00 0.52 0.08 0.13 -0.22
0.07 -0.38 -0.05 0.41 1.80
0.04 0.42 0.11 -0.07 -1.30
0.17 0.18 -0.13 0.19 0.33
22 0.00 0.17 -0.33 0.18 -1.20
0.00 0.18 0.43 -0.08 0.33
0.22 0.18 0.21 0.07 0.48
0.08 0.07 0.71 0.04 -1.20
23 0.01 0.02 -0.62 0.08 -1.30
0.03 0.28 0.33 -0.07 1.10
0.09 0.13 0.42 0.28 -1.70
0.19 -0.23 0.08 0.37 1.50
24 0.03 -0.05 0.22 -0.33 0.43
0.22 0.55 -0.88 0.07 -1.80
0.33 0.13 -0.08 -0.05 -0.80
0.08 0.17 0.29 0.33 1.70

Варианты заданий к теме "Решение СЛАУ методом итераций"

№ варианта D C
25 0.13 0.22 -0.33 0.07 0.11
0.00 0.45 -0.23 0.07 -0.33
0.11 0.00 -0.08 0.78 0.85
0.08 0.09 0.33 0.21 -1.70
26 0.32 -0.16 -0.08 0.15 2.42
0.16 -0.23 0.11 -0.21 1.43
0.05 -0.08 0.00 0.34 -0.16
0.12 0.14 -0.18 0.06 1.62
27 0.00 0.08 -0.23 0.32 1.34
0.16 -0.23 0.18 0.16 -2.33
0.15 0.12 0.32 -0.18 0.34
0.25 0.21 -0.16 0.03 0.63
28 0.06 0.18 0.33 0.16 2.33
0.32 0.00 0.23 -0.35 -1.12
0.16 -0.08 0.00 -0.12 0.43
0.09 0.22 -0.13 0.00 0.83
29 0.00 0.34 0.23 -0.06 1.42
0.11 -0.23 -0.18 0.36 -0.66
0.23 -0.12 0.16 -0.35 1.08
0.12 0.12 -0.43 0.18 1.72
30 0.32 -0.23 0.41 -0.06 0.67
0.18 0.12 -0.33 0.00 -0.88
0.12 0.32 -0.35 0.67 -0.18
0.05 -0.11 0.09 -0.12 1.44

Список литературы

1. Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов. - М.: Высш. шк., 2002. - 840с.

2. Волков Е.А. Численные методы: Учебное пособие. - 3-е изд., испр. - СПб: Лань, 2004. - 248с.

3. Кетков Ю.Л. MATLAB 6: программирование численных методов. - СПб.: БВХ-Петербург, 2004. - 672с.

К-во Просмотров: 164
Бесплатно скачать Лабораторная работа: Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений