Лабораторная работа: Методы оптимизации функций многих переменных

;

.

H (A₀ ( 0; 0)) =0

(требуется дополнительное исследование точки).

Анализ поведения функции в окрестности точки A₀ ( 0; 0) показывает, что, придавая х₁ положительное и отрицательное значение при любом х₂ , можно получить соответственно положительное и отрицательное значение функции. Таким образом, A₀ ( 0; 0) не является ни точкой локального минимума, ни точкой локального максимума.

Н (А₁ (1,068; 1,668)) ≈ , матрица отрицательно определена, в точке А₁ локальный максимум.

Н (А₂ (-1,068; - 1,668)) ≈, матрица положительно определена, в точке А₂ локальный минимум.

Н (А₃ (-0,331; 0,848)) ≈ , матрица положительно определена, в точке А₃ локальный минимум.

Н (А₄ (0,331; - 0,848)) ≈ , матрица отрицательно определена, в точке А₄ локальный максимум.

Точками глобального экстремума являются А₁ (1,068; 1,668) - глобальный максимум, f ( A₁ ) ≈1,801; А₂ (- 1,068; - 1,668) - глобальный минимум, f ( A₂ ) ≈≈ - 1,801.

3. Остальные задания реализованы на языке СИ, для чего написаны классы для работы с векторами и матрицами (Cvector и Cmatrix) и использующее их приложение. В методе наискорейшего спуска для одномерной минимизации используется метод золотого сечения. Для отыскания собственных чисел матрицы Гессе применяется метод Якоби, для построения обратной матрицы - метод Жордана-Гаусса.

В начале работы программа выводит информацию о стационарных точках:

Stationary dots:

x1x2f (x1,x2) Extreme

1.0678901.6675661.801131LOC MAX

1.067890-1.667566-1.801131LOC MIN

0.3310770.848071-0.144426LOC MIN

0.331077-0.8480710.144426LOCMAX

GLOBALMIN: x (-1.067890, - 1.667566)

f (x) = - 1.801131

GLOBALMAX: x (1.067890, 1.667566)

f (x) = 1.801131

Затем устанавливается начальная точка x⁰ (-2,-2), функция исследуется на выпуклость/вогнутость в этой точке, выводится число обусловленности матрицы Гессе:

x0 (-2.000000, - 2.000000) Hessian: Alternating sign

f (x0) = - 0.398297

condH (x0) = 4.751665

Таким образом, квадратичная форма, соответствующая матрице , является знакопеременной. Функция не является овражной в окрестности точки, и допустимо применение метода градиентного спуска.