Лабораторная работа: Законы сохранения механики

Рассмотрим последовательно все этапы движения. При падении груза с высоты Н потенциальная энергия, обусловленная взаимодействием груза с Землей, переходит в кинетическую энергию движения груза. Здесь имеет место закон сохранения полной механической энергии, так как в системе груз – Земля внутренняя сила консервативна, а работа внешних сил равна нулю, т. е. имеет место равенство D W = D W_k + D W_n = 0 .

На данном этапе изменение кинетической энергии груза

D W = m ₁ v ₁ ² /2,

где m ₁ – масса груза, v ₁ – скорость груза непосредственно перед ударом о сваю.

Изменение потенциальной энергии груза определяется тем, что он опустился с высоты Н , на которую был поднят над сваей, – m ₁ gH . Следовательно, изменение полной механической энергии

D W = m ₁ v ₁ ² /2 – m ₁ gH =0.

Отсюда можно найти скорость груза v ₁ непосредственно перед ударом о сваю:

V ₁ = (2 gH )^1/2 . (1)

При дальнейшем движении груза происходит неупругое соударение со сваей, т. е. такое, при котором после удара соударяющиеся тела движутся с некоторой общей скоростью, целиком сохраняя возникшую при ударе взаимную деформацию.

При ударе груза о сваю можно применить закон сохранения импульса, так как систему можно считать приближенно замкнутой. Действительно, на систему груз – свая действуют как внешние силы (силы тяжести груза и сваи и сила сопротивления грунта), так и внутренние силы, развивающиеся между телами при соударении. Строго говоря, данная система не является замкнутой, но при условии, что внешние силы много меньше внутренних, систему можно считать приближенно замкнутой и, следовательно, применить закон сохранения импульса:

m ₁ v ₁ =( m ₁ + m ₂ ) v ₂ , (2)

где m ₂ – масса сваи, v ₂ – общая скорость сваи и груза после удара.

Из (1) и (2) следует, что:

v ₂ = m ₁ v ₁ /( mi + m ₂ )= m ₁ (2 gH )^1/2 /( m ₁ + m ₂ ) (3)

После неупругого удара груз и свая начинают двигаться замедленно до полной остановки. На этом этапе движения сила сопротивления фунта, являющаяся диссипативной, совершает работу, поэтому полная механическая энергия системы груз – свая – Земля не сохраняется:

D W = D W_K + D W _п =Адис, (4)

то есть изменение полной механической энергии системы равно работе сил сопротивления грунта. Если сравнить два состояния системы, первое из которых соответствует началу совместного движения груз – свая после их соударения, а второе – окончанию движения, то изменение кинетической энергии системы можно записать так:

D W_K = W_{K 2} – W_{K 1} = -( m ₁ + m ₂ ) v ₂ ² /2. (5)

Изменение потенциальной энергии будет равно:

D W _П = W _П2 – W _П1 = -( m ₁ + m ₂ ) gS , (6)

где S – перемещение груза и сваи от начала совместного движения до полной остановки.

На участке S сила сопротивления грунта f совершает работу А_дис = fS = fScos a , где a – угол между направлением силы и перемещением. Угол a = p , так как сила и перемещение взаимно противоположны. Следовательно, работа силы будет отрицательной:

А_дис = – fS . (7)

Под величиной силы f подразумевается среднее значение силы сопротивления, то есть f= fcp . Подставляя (5), (6), (7) в уравнение (4), получим:

–( m ₁ + m ₂ ) v ₂ ² /2 – ( m ₁ + m ₂ ) gS = – fS . (8)

Если в уравнение (8) подставить значение скорости, найденное по формуле (3), можно записать:

m₁ ² gH/(m₁ +m₂ ) + (m₁ +m₂ )gS = fS.

Разделив обе части на S, получим окончательно:

f=[(m₁ ² H/[S(m₁ +m₂ )] + m₁ +m₂ ]g. (9)