Научная работа: Вычисление радиальных функций Матье-Ханкеля
, если
(7)
, если
И на бесконечности условию
~
,
(8)
где - задано, а
(
) - собственные значения задачи (2), (3), (4),
Параметр используются для различия случаев использования чётного или нечётного номера собственного значения для π и 2π периодических собственных функций:
Для решения задачи (6)-(8) используем модификацию метода фазовых функций.
Введём замену переменных:
(9)
(10)
Здесь - "масштабирующая" функция, положительная на
, удовлетворяющая условию
при
, её выбор находится в нашем распоряжении.
Подставляя (9), (10) в исходное уравнение (6) задачи для и
:
(11)
(12)
где и
.
Для совместного решения задач Коши для и
используется следующий приём. Функцию
ищем в точках
. На каждом из отрезков
вспомогательные функции
находятся, как решение задач Коши
(13)
где .
Поскольку для любых решений и
, уравнений (12) и (13) справедливо соотношение
, получаем рекуррентные формулы «назад» для вычисления
,
,
,
, (14)
причём .
Итак, краткий алгоритм решения задачи (6)-(8) состоит в следующем:
1. Решаются совместно задачи Коши (11), (12) запоминая в точках разбиения отрезка величины
,
,
;
2. Полагая , по формуле (14) вычисляем
,
;
3. По формуле (10) вычисляем функции ,
;
4. Из (9) и (10) получаем выражение для производной функции
.