Научная работа: Вычисление радиальных функций Матье-Ханкеля

, где .

Вычисление функций Матье III рода

Волновая радиальная функция Матье-Ханкеля третьего рода является решением обыкновенного дифференциального уравнения второго ворядка на полубесконечном интервале:

,. (15)

Условие на бесконечности

~, . (16)

Для уравнения (15) условие (16) эквивалентно условию:

,

и при достаточно больших линейному соотношению:

, .

(17)

Решение задачи (17) существует, единственно и при достаточно больших представимо асимптотическим рядом .

Рассмотрим алгоритм нахождения функций . Для их вычисления нужно перенести граничное условие

,

где , справа налево от точки до точки .

Воспользуемся вариантом ортогональной дифференциальной прогонки.

По всему отрезку переносим соотношение

,

потребовав выполнение условия для всех , , где и удовлетворяют системе дифференциальных уравнений 1-ого порядка

.

Функции Матье 3-его рода ищем по формуле:

,

где .

Функции Матье 2-ого рода вычисляются по формуле:

.

функция матье дифференциальное уравнение

Описанные алгоритмы вычисления радиальных функций эллиптического цилиндра опробованы в широком диапазоне изменения параметров. Точность результатов определяется точностью используемого метода Рунге-Кутта для решения соответствующих задач Коши.

Литература

1. Абрамов А.А., Дышко А.Л., Пак Т.В. и др. Численные методы решения задач на собственные значения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями. – Третья конференция по дифференциальным уравнениям и приложениям. – Тезисы докладов. Руссе, Болгария, 1985. – с.4.