Научная работа: Вычисление радиальных функций Матье-Ханкеля
Вычисление радиальных функций матье-ханкеля
Н.И. Волвенко, V курс, Институт математики и компьютерных наук ДВГУ, Т.В. Пак – научный руководитель, доцент, к.ф.-м.н., и.о. зав. кафедрой КТ
Функции Матье, в отличие от широко известных специальных функций, таких как полиномы Лежандра, функции Бесселя и Неймана, изучены ещё недостаточно полно. Почти все используемые методы расчёта связаны с разложением в ряды по более простым цилиндрическим и т.п. функциям. Недостаток таких методов в том, что они достаточно громоздки и имеют ограниченную применимость.
Функции Матье возникают при разделении переменных в уравнении Гельмгольца:
, (1)
где - некоторая вещественная положительная константа и
- оператор Лапласа.
Эллиптические координаты , допускающие разделение переменных связаны с декартовыми:
,
.
Полагая в методе разделения переменных, получаем уравнения:
,
,
где - константа разделения. Эти уравнения являются вариантами уравнений Матье.
Дифференциальное уравнения Матье имеет вид
, (2)
где обычно переменная имеет вещественное значение, а
- заданный вещественный ненулевой параметр.
Собственные значения и граничные условия
(3)
соответствуют чётным функциям Матье , а собственные значения
и граничные условия
(4)
нечётным функциям Матье
В силу свойств симметрии уравнение (2) имеет 4 типа периодических решений, называемых функциями Матье 1-ого рода: чётную π-периодическую, чётную 2π-периодическую, нечётную 2π-периодическую, нечётную π-периодическую функции, которые чаще всего обозначаются таким образом: ,
,
,
.
Собственные значения , отвечающие функциям
,
,
,
, обозначаются через
,
,
,
.
Модифицированное уравнение Матье
(5)
получается из уравнения Матье (2) подстановкой . В зависимости от того, будет в (5)
или
, это уравнение имеет либо решение
, либо решение
, которые являются соответственно чётной и нечётной функциями от ξ.
Функции, являющиеся решениями уравнения (5), называются радиальными функциями Матье (РФМ).
Различают РФМ 1, 2, 3 и 4 рода: ,
,
,
.
Вычисление функций Матье I рода
Радиальные функции Матье первого рода являются решениями ОДУ второго порядка
,
(6)
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--