Научная работа: Вычисление радиальных функций Матье-Ханкеля

, если (7)

, если

И на бесконечности условию

~, (8)

где - задано, а () - собственные значения задачи (2), (3), (4),

Параметр используются для различия случаев использования чётного или нечётного номера собственного значения для π и 2π периодических собственных функций:

Для решения задачи (6)-(8) используем модификацию метода фазовых функций.

Введём замену переменных:

(9)

(10)

Здесь - "масштабирующая" функция, положительная на , удовлетворяющая условию при , её выбор находится в нашем распоряжении.

Подставляя (9), (10) в исходное уравнение (6) задачи для и :

(11)

(12)

где и .

Для совместного решения задач Коши для и используется следующий приём. Функцию ищем в точках . На каждом из отрезков вспомогательные функции находятся, как решение задач Коши

(13)

где .

Поскольку для любых решений и , уравнений (12) и (13) справедливо соотношение , получаем рекуррентные формулы «назад» для вычисления , ,

, , (14)

причём .

Итак, краткий алгоритм решения задачи (6)-(8) состоит в следующем:

1. Решаются совместно задачи Коши (11), (12) запоминая в точках разбиения отрезка величины , , ;

2. Полагая , по формуле (14) вычисляем , ;

3. По формуле (10) вычисляем функции , ;

4. Из (9) и (10) получаем выражение для производной функции

.