Реферат: Абстрактная теория групп

Теорема о гомоморфизме.

Любой гомоморфизм можно представить как композицию естественного (сюръективного) гомоморфизма , изоморфизма и (инъективного) гомоморфизма (вложения подгруппы в группу): .

Доказательство.

Гомоморфизмы p и i описаны выше (см. примеры) Построим изоморфизм j. Пусть . Элементами факторгруппы являются смежные классы Hg . Все элементы имеют одинаковые образы при отображении a: . Поэтому формула определяет однозначное отображение . Проверим сохранение операции .Поскольку отображение j очевидно сюръективно, остается проверить его инъективность. Если , то и потому . Следовательно, и по предыдущей теореме j инъективно.

Пусть - любой элемент. Имеем :. Следовательно, .

10 Циклические группы.

Пусть G произвольная группа и - любой ее элемент. Если некоторая подгруппа содержит g , то она содержит и все степени . С другой стороны, множество очевидно является подгруппой G .

Определение.

Подгруппа Z(g) называется циклической подгруппой G с образующим элементом g. Если G = Z(g) , то и вся группа G называется циклической.

Таким образом, циклическая подгруппа с образующим элементом g является наименьшей подгруппой G, содержащей элемент g.

Примеры

1. Группа Z целых чисел с операцией сложения является циклической группой с образующим элементом 1.

2. Группа поворотов плоскости на углы кратные 2p¤n является циклической с образующим элементом - поворотом на угол 2p¤n. Здесь n = 1, 2, ...

Теорема о структуре циклических групп.

Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна Z. Циклическая группа порядка n изоморфна Z / nZ .

Доказательство.

Пусть G = Z(g) - циклическая группа. По определению, отображение - сюръективно. По свойству степеней и потому j - гомоморфизм. По теореме о гомоморфизме . H = KerjÌZ.Если H - тривиальная подгруппа, то . Если H нетривиальна, то она содержит положительные числа. Пусть n - наименьшее положительное число входящее в H. Тогда nZÌH.Предположим, что в H есть и другие элементы то есть целые числа не делящееся на n нацело и k одно из них. Разделим k на n с остатком: k = qn +r , где 0 < r < n. Тогда r = k - qn Î H , что противоречит выбору n. Следовательно, nZ = H и теорема доказана.

Отметим, что »Z / nZ .

Замечание.

В процессе доказательства было установлено, что каждая подгруппа группы Z имеет вид nZ , где n = 0 ,1 , 2 ,...

Определение.

Порядком элемента называется порядок соответствующей циклической подгруппы Z( g ) .

Таким образом, если порядок g бесконечен, то все степени - различные элементы группы G. Если же этот порядок равен n, то элементы различны и исчерпывают все элементы из Z( g ), аN кратно n . Из теоремы Лагранжа вытекает, что порядок элемента является делителем порядка группы. Отсюда следует, что для всякого элемента g конечной группы G порядка n имеет место равенство .

Следствие.

Если G - группа простого порядка p, то - циклическая группа.

В самом деле, пусть - любой элемент отличный от нейтрального. Тогда его порядок больше 1 и является делителем p, следовательно он равен p. Но в таком случае G = Z( g )».

Теорема о подгруппах конечной циклической группы.

Пусть G - циклическая группа порядка n и m - некоторый делитель n. Существует и притом только одна подгруппа HÌG порядка m. Эта подгруппа циклична.

Доказательство.

По предыдущей теореме G»Z / nZ. Естественный гомоморфизм устанавливает взаимно однозначное соответствие между подгруппами HÌG и теми подгруппами KÌZ , которые содержат Kerp = nZ . Но, как отмечалось выше, всякая подгруппа K группы Z имеет вид kZ Если kZÉnZ , то k - делитель n и p(k) - образующая циклической группы H порядка m = n /k. Отсюда и следует утверждение теоремы.