Математика / Реферат: Алгебра и топология

Реферат: Алгебра и топология

Алгебра и топология

Определения.

1. Общая алгебра – часто алгебра, занимающаяся изучением тех или иных алгебраических систем, включающая в себя теории групп, колец, модулей (абелева группа с кольцом операторов), подгрупп, решеток (структур) и т. п. .

Если универсальная алгебра (см. §2.1, п.1) снабжена порядком или топологией, согласованным с операциями, то возникает частично упорядоченная или топологическая алгебра соответственно. Исследование этих объектов также относится к общей алгебре.

Наиболее развиты в общей алгебре теории частично упорядоченных и топологических групп и колец. Другими направлениями являются исследования структур, универсальных алгебр и категорий. Вскрытие связей алгебр и математической логики привело к появлению теории моделей и алгебраических систем, кратко раскрывавшихся ранее (см. §3.1, п. 3.3). Результаты этих исследований находят приложения в ряде областей, например, в алгебраической теории автоматов, алгебре алгоритмов и алгебраической теории информации (главным образом в том направлении, которое связано с теорией кодирования и декодирования).

Немаловажно и другое замечание общей алгебры – ее связь с топологией.

Предметом исследований объектов являются: установление их соответствия, образование изотопий, наличие и сохранение характерных свойств, введение классов, категорий и т. п. .

Результаты обобщений позволяют надежно обосновывать рациональные пути конструктивных практических методов, подобных уже упоминавшихся ранее (§2.2, п. 2.4, §2.3, п. 6-11).

В §§2.2 и 2.3 приведены многие определения из входящих в круг понятий общей алгебры. Однако следует остановиться еще на ряде терминов.

Универсальная алгебра – это алгебраическая система с пустым множеством отношений (часто называют просто алгебра). Если к основным операциям алгебры А присоединяются все производные операции (например, как в §2.3, п. 6), то возникает универсальная алгебра Â большей сигнатуры. Равенство Â = возможное и при А ¹В , приводит к понятию рациональной дививалентности универсальных алгебр.

Универсальная алгебра называется функционально полной , если всякая операция на ее носителе принадлежит клону* , порожденному ее основными операциями и константами. Если исключаются константы, то универсальная алгебра называется строго функционально полной. Всякая функционально полная универсальная алгебра конечна.

В общей алгебре дается характеристика многообразия универсальных алгебр.

Частично упорядоченная группа – группа G_j , на которой задано отношение частичного порядка £ такое, что для любых a, b, x, y из G неравенство a£b влечет за собой xay£xby.

Множество ={xÎG½x³1} частично упорядоченной группы, называемое положительным конусом или целой частью , группы G, обладает следующими свойствами:

1) × P Í P; 2) Ç P^-1 ={1}; 3) x^-1 PxÍ,

для любых xÎG.

Пример5.1 . Частично упорядоченными группами являются:

1. Аддитивная группа действительных чисел с обычным порядком;

2. Группа F(C, R) функций, заданных на произвольном множестве C со значениями R, с операцией:

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

и отношением порядка f£g, если f(x) £g(x) для всех xÎC.

Важный класс частично упорядоченных групп – структурно(решеточно)упорядоченная группа , l -группа , – группа G с сигнатурой: <×, ^-1 ,>, удовлетворяющая аксиомам:

5.1

<G, ×, ^-1 ,

, > ? ??????;

2) <G, , > – решетка;

3) x(yz)t=xytxzt,

x(yz)t=xytxzt,

для любых x, y, z, tÎG.

Решетка структурно упорядоченной группы дистрибутивна.

Модулем элемента x называют элемент |x|=xx^-1 .

Положительной частью элемента x является x⁺ =x и отрицательной x^- =x.

Другой важный класс – линейно упорядоченная группа G , являющаяся группой относительно операции умножения, линейно упорядоченным множеством относительно бинарного отношения порядка £ и удовлетворяющая аксиоме: для любых элементов x, y, zÎG из x£y следует xz£yz и zx£zy.

Частично упорядоченное кольцо K является частично упорядоченной группой по сложению, в котором для любых a, b, cÎK неравенства a£b и c³0 влекут за собой неравенства ac£bc и ca£cb.

Пример 5.2. Упорядоченными кольцами являются:

1. Упорядоченное поле – линейно упорядоченное кольцо, являющееся полем (поле действительных чисел с обычным порядком);

2. Кольцо действительных функций на множестве C, где f£g означает, что f(x)£g(x) для всех xÎC;

3. Кольцо матриц над упорядоченным кольцом K , где по определению ,если a_ij £b_ij для всех i, j.

Если K – упорядоченное кольцо, то множество ={x|xÎK , x³0} называется его положительным конусом, однозначно определяющим порядок кольца K (x£y, тогда и только тогда, когда (y-x)ÎK ). Подмножество ÍK служит положительным конусом для некоторого порядка, в том и только в том случае, когда Ç(-P)={0}, P+PÍи ×PÍ.

Равенство È(-P)=K равносильно линейности этого порядка.

2. Топология – раздел математики, назначением которого является выяснение и исследование идеи непрерывности в широком понимании, включая и дискретность, как фактор снятия непрерывности. Топология в настоящее время достигла высокого уровня развития. Представляется, что методы и идеи топологии должны найти, в возможном специфическом предложении, свое место и при исследованиях дискретных структур (здесь, по-видимому, на первое место может претендовать теория графов).

Главной задачей топологии является выделение и изучение топологических свойств пространств или топологических инвариантов : связность, компактность, размерность, вес, фундаментальная группа, группа гомологий и другие.

Центральным объектом исследования в топологии считается тройка (C,f,U), где f – непрерывное отображение топологического пространства C в топологическое пространство U.

Отсюда важнейшими понятиями топологии являются понятия: гомоморфизма (см. §2.3, п. 12) и топологическое пространство.

Пространство , в общем случае, это понятие, сложившееся в результате обобщения и видоизменения понятий геометрии евклидова пространства (пространство Лобачевского, многомерная геометрия и т. п.).

Топологическое пространство – совокупность двух объектов: множества C, состоящего из элементов произвольной природы, называемыми точками данного пространства, и из введенной в это множество топологической структуры (топологии) . Топология – это та или иная совокупность подмножеств U (открытых или замкнутых) множества C, удовлетворяющая трем условиям:

1) ÆÎU , CÎU ;

2) пересечение двух множеств из U принадлежит U ;

3) Объединение любой совокупности множеств из U принадлежит U .

Топологическое пространство обозначают (C,U ), что нередко сокращается до обозначения Т или просто C.

Топология может быть задана и отношением замыкания . Отношение замыкания имеет место тогда, когда всякому элементу xÎC сопоставлен однозначно определенный элемент ÎC, называемый замыканием элемента x. При этом для всех x, yÎC должны выполняться следующие требования:

1) x£;

2) если x£y, то £;

3) =, то есть замыкание любого элемента совпадает со своим замыканием;

4) замыкание объединения двух (а поэтому и любого конечного числа) подмножеств из C равно объединению замыканий этих подмножеств: ;

5) всякое подмножество, состоящее из одного элемента, замкнуто.

Элемент x называется замкнутым если он совпадает со своим замыканием.

Во всяком частично упорядоченном множестве можно давать тривиальное замыкание , полагая = для всех .

Отношение замыкания задано также, если система подмножеств множества C частично упорядочена по теоретико-множественному включению.

Если в множестве C задано отношение замыкания, то само множество Cзамкнуто , как замыкание самого себя. И пересечение любой системы замкнутых подмножеств в C само замкнуто .

Системы открытых и замкнутых множеств являются взаимно дополняющимися .

Ряд понятий топологии (окрестность точки, точки прикосновения и другие) рассматриваются, как правило, в основном курсе высшей математики. Здесь остановимся лишь на тех положениях, которые обычно не находят там отражения.

Связность – свойство топологического пространства, состоящее в том, что пространство нельзя представить в виде суммы двух отдельных друг от друга частей – непустых непересекающихся открыто-замкнутых подмножеств. Пространство, не являющееся связным, называется несвязным . Например, обычная евклидова плоскость – связное пространство; если удалить какую-либо окружность, не сводящуюся к точке, то остаток уже несвязен. Связность пространства сохраняется при гомеоморфизмах.

Абстрактное свойство связности является обобщением линейной связности, то есть свойства пространства, заключающегося в возможности связать любые его две точки некоторым путем.

Компактность – свойство, состоящее в том, что каждое бесконечное подмножество пространства имеет предельную точку , то есть такую точку данного подмножества, любая окрестность которой содержит, по крайней мере, одну точку этого подмножества, отличную от точки именуемой предельной. Множество, содержащее все свои предельные точки, называется замкнутым , а совокупность всех предельных точек называется производным множеством .

Размерность – целочисленный инвариант пространства C (обозначение dimC – Лебега размерность ), определяемый следующим образом:

– dimC = -1, если C=Æ;

– dimC£n, если топологическое пространство не пустое и не более, чем n – мерно;

– dimC = n – пространство называется n-мерным.

Вес – кардинальное наименьшее число, являющееся мощностью базы топологического пространства, то есть такого семейства B открытых подмножеств пространства C, что каждое открытое множество GÌC является объединением элементов ÌB.

Фундаментальная группа (группа Пуанкаре) – группа (C, x₀ ) пунктированного, то есть с отмеченного точкой x₀ , пространства C. Элементами фундаментальной группы служат гомотопические классы замкнутых путей в C ( – символ фундаментальной группы).

Гомотопия , гомотопность двух непрерывных отображений f и g (f, g: C®U) есть существование такого семейства непрерывных отображений f_t : C®U, непрерывно зависящих от параметра tÎ[0,1], что f₀ =f_n , f₁ =g. Это семейство (называемое гомотопией, связывающей f с g) является путем в пространстве F(C,U) всех непрерывных отображений C®U, связывающих точку f с точкой g.

Гомологии группа топологического пространства – группа, которая ставится в соответствие топологическому пространству с целью алгебраического исследования его топологических свойств в рамках алгебраической топологии . Частью алгебраической топологии является теория гомологии , осуществляющая связь между топологическими и алгебраическими понятиями: приводя в соответствие каждому пространству определенную последовательность групп, а непрерывному отображению пространства – гомоморфизмы соответствующих групп.

Таким образом, по свойствам групп и их гомоморфизмов можно судить о свойствах пространства и отображений, в частности о тех, что приводились выше.

3. Метрика – понятие, характеризующее «расстояние» на множестве C. Это некоторая функция с неотрицательными действительными значениями, определяемая на декартовом произведении C´C. Функция должна удовлетворять при любых x, yÎC условиям: