Реферат: Алгебраическая проблема собственных значений

получим совокупность полиномов, известную как последовательность Штурма и обладающую тем свойством, что корни полинома fj (l) располагаются между корнями полинома fj +1 (l). Поэтому для f1 (l) = a1 l можно утверждать, что значение lК = а1 заключено между корнями полинома f2 (l) == (a2 — l) (a1 — l) —b2 2 . Это облегчает итера­ционное определение корней полинома, так как если известны границы интервалов, в которых лежат значения корней полино­ма, то их можно найти методом половинного деления. Так после­довательно находят корни всех полиномов, и последний из них fn (l) дает все искомые п собственные значения. Эту процедуру можно проиллюстрировать графически (см. рис. 3).

Последовательность Штурма обладает еще и таким свойством: для любого значения b , при котором fn (b ) <> 0, число собствен­ных значений матрицы A, больших b, равно числу изменений знака последовательности

1, f1 (b ), f2 (b ), … , (1)n fn (b).

Если целое число, равное числу изменений знака, обозначить че­рез V(b), то число собственных значений в интервале действи­тельных чисел [b, с] будет равно V(b)—V(c).

Корень многочлена

f 1 (l)

f1 (b )

Корни многочлена

f 2 (l)

f1 (b )

Корни многочлена

f3 (l)

f1 (b )


………………………………………………………………………………………………………..

Корни многочлена

fn- 1 (l)

f1 (b )

Корни многочлена

f n (l)

f1 (b )


Рис. 3. Итера­ционное определение корней полинома

6. ДРУГИЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

В этом разделе мы рассмотрим два метода определения собст­венных значений, имеющие большое практическое значение. Оба разработаны в последние 20 лет и наиболее эффективны в тех случаях, когда требуется найти все собственные значения про­извольной матрицы действительных или комплексных чисел. В обоих используются преобразования, позволяющие получить последовательность подобных матриц, сходящуюся к матрице блочной треугольной формы:

X1 * * * *
x2 * * * *
x3 * * *
* * *
* * *
* *
0 *
*

где блоки Хm , представляют собой матрицы размерности 2 х 2, расположенные на главной диагонали. Собственные значения блоков Хm , являются в то же время собственными значениями исходной матрицы размерности п x п. Такая форма удобна, так как детерминант второго порядка блоков Хm позволяет опреде­лять комплексные собственные значения, не вводя комплексных элементов в окончательную матрицу. Если все собственные зна­чения исходной матрицы действительные, то в окончательном виде она будет треугольной, причем собственные значения будут расположены на диагонали.

Метод LR

Этот метод первоначально был разработан Рутисхаузером в 1958 г. Метод основан на представлении матрицы A в виде про­изведения

А = LR ,

где L — левая треугольная матрица с единичными диагональ­ными элементами, а R — правая треугольная. Применяя преоб­разование подобия L-1 A R , видим, что,

A2 = L-1 A R = L-1 (RL)L = R L .

Следовательно,

A m-1 = L m-1 R m-1,

A m = R m-1 L m-1 .

Этот процесс повторяется до тех пор, пока Ls не превратится в единичную матрицу Е, а R s не приобретет квазидиагональную форму. Хотя этот метод очень удобен, он не всегда устойчив. Поэтому предпочтение часто отдают другому методу.

Метод QR

Метод QR. предложен Фрэнсисом в 1961 г. Соответствующий ему алгоритм определяется соотношением

A m = Q m R m .

где Q m — ортогональная матрица, а R m — верхняя треугольная матрица. При использовании метода последовательно получаем

A m+1 = Q m T A m Q m = Q m T Q m R m Q m = R m Q m .

В пределе последовательность матриц А стремится к квазидиа­гональной форме. Этот метод сложнее предыдущего и требует больших затрат машинного времени. Однако его устойчивость,обусловленная использованием ортогональных преобразующих матриц, обеспечила ему прочную репутацию лучшего метода решения задач самой общей формы.

Пример 3

Пусть требуется найти все собственные значения произвольной матрицы размерности 6 x 6

2,3 4,3 5,6 3,2 1,4 2,2
1,4 2,4 5,7 8,4 3,4 5,2
2,5 6,5 4,2 7,1 4,7 9,3
3,8 5,7 2,9 1,6 2,5 7,9
2,4 5,4 3,7 6,2 3,9 1,8
1,8 1,7 3,9 4,6 5,7 5,9

Сделаем это в два приема, приведя сначала матрицу с помощью преобразова­ния подобия к виду Гсссенберга, затем с помощью разновидности метода QR найдем собственные значения. В приведенной ниже программе использованы две подпрограммы из пакета программ для научных исследований фирмы IВМ. Подпрограмма НSВС преобразует матрицу размерности 6 x 6 к форме Гессенберга, а подпрограмма АТЕIG позволяет найти собственные значения.

{**********************************************************************}

Программа определение всех собственных значений произвольной матрицы размерности 6х5. Используются подпрограммы НSВСи АТЕIG из пакета программ для научных исследований фирмы IBM

{**********************************************************************}

DIMENSION A(6,6),RR(6),RI(6),IANA(6)

READ(5,100)((A(I,J),J=1,6),I=1,6)

WRITE(6,104)

104 FORMAT(///lX,’THE ORIGINAL MATRIX IS AS FOLLOWS’)

WRITE(6,103)

103 FORMAT(1X,65(-'--'))

WRITE(6,101)((A(I,J),J=1,6),I=1,6)

WRITE(6,103)

101FORMAT(6(1X,F10.5))

100 FORMAT(6F10.5)

К-во Просмотров: 252
Бесплатно скачать Реферат: Алгебраическая проблема собственных значений