Реферат: Билеты по геометрии (11 класс)
Д-во . Рассмотрим 2 ║а и а1 и пл α, такую, что а^α. Докажем, что и а1 ^α.. проведем какую-нибудь прямую х в пл α. Так как а^α, то а^х. По лемме о перпендикулярности 2-ух параллельных прямых к третьей а1 ^х. Т.о. прямая а1 ^ к любой прямой , лежащей в пл a т.е а1 ^α.
Теорема . Если 2 прямые перпендикулярны к плоскости , то они параллельны.
Билет №20
1. Фрмула обьема шара( формула примеры)
2. Теорема о трех перпендикулярах
1. Теорема: Объем шара радиуса R равен 4 /3 p R3
Д-во: Рассмотрим шар радиуса R с центром в т.О и выберем ост Ох произвольным образом. Сечение шара пл. ^к оси Ох и проходящей через т М этой оси является кругом с центром в т М. Обозничим радиус этого круга r , а его площадь S(x), где х- абсц-исса т М. Выразим S(х)через х и R.Из прямоуголь-ника ОМС находим: r=ÖOC2 –OM2 = ÖR2 -x2 .Так как S(x)=pR2 ,то S(x)= p(R2 - x2 ). Заметим , что эта фор-мула верна для любого положения т.М на диаметре АВ, т.е. для всех х, удовлетворяющих условию -R£ x £R. Примеряя основную формулу для вычисления объемов тел при а= -R, b=R, получим
| V | R R R R | px3 | R | 4 |
| =∫p(R2 -x2 )dx= pR2 ∫ dx-p∫x2 dx=pR2 x½- | ½= | pR3 | ||
| 3 | 3 | |||
| -R -R -R -R | -R |
2.Теорема . Прямая проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
Д-во. Дана пл α и перпендикуляр АН , АМ- наклонная, а- прямая, проведенная в пл α через т м^ к проекции НМ наклонной. Докажем , что а ^АМ. Рассотрим пл АМН. Пр.а ^к этой пл, т.к она ^ к 2-ум пересекающимся прямым АН и МН(а ^ НМ по условию и а ^АН, т.к. АН^ α). Отсюда =>, что пр а ^ к любой прямой , лежащей в пл АМН, в частности а^АМ
Обратная теорема. Прямая проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней перпендикулярна и к её проекции