Реферат: Билеты по геометрии (11 класс)

1. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

2. Объем призмы.

1. Три случая расположения прямой и плоскости.

1.Плоскость и прямая имеют одну оющую точку aÈA

2.Прямая лежит в плоскости а значит имеет с ней 2 общие точки.

1.Пряммая и плоскость не имеют общих точек т.е.a÷ïa

2.Теорема: Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту .

Д-во: Рассмотрим правильную 3-угольную призму АВСА₁ В₁ С₁ с объемом V и высотой h.

Проведем такую высоту ∆АВС (ВD) кот. разделит этот ∆на 2 ∆. Поскольку ВВ₁ D разделяют данную призму на 2 призмы , основания кот является прямоугольный ∆ABD и ВСD. Плэтому объем V₁ и V₂ соответственно равны S_{AB D} ·h и S_{ВС D} ·h. По св-ву 2⁰ объемов V=V₁ +V₂ т.е V= S_{AB D} ·h+ S_{ВС D} ·h= (S_{AB D} + S_{ВС D} ) h. Т.о. V=S_АВС ·h

Д-во Возьмем произвольную прямую призму с высотой h и площадью основания S. Такую

призму можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h. Выразим объем каждой треугольной призмы по формуле (1) и сложим эти объемы. Вынося за скобки общий множитель h , получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т. е. площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем исходной призмы равен произведению Sh. Теорема доказана.

Рассмотрим случай , когда призмая является частью параллелепип-ида. Диогональное сечение делит параллелепипед на 2 равные треугольные призмы. Так как S_пол = ^1/ /₂ ab то S_∆ =ab =>V_∆ = Sh ч.т.д.

Билет №5

1. Перпендикуляр к наклонной плоскости(формулировки, примеры)

2. Объем цилиндра.

1. Рассмотрим пл αи т А, не лежащую в этой плоскости. Проведем через т А прямую,^ к пл α, и обозначим букв H т пересечения этой прямой с пл α .Отрезок АН называется, ^ проведенным из

т А к пл α, a т Н — основанием ^. Отметимв пл αкакую-нибудь т М, отличную от Н, и проведем отр AM. Он называется наклонной , про-вед из т А к пл α, а т М — основанием наклонной. Отрезок НМ наз-ывается проекцией наклонной на пл α. Сравним ^АН и наклон-ную AM: в прямоугольном ∆АМН сторона АН — катет, а сторона AM - гипотенуза, поэтому АН<АМ. Итак, ^, проведенный аз данной т к пл, меньше любой наклонной, проведенной из той же т к этой пл.

=> из всех расстояний от т А до различных т пл αнаименьшим является расстояние до т H. Это расстояние, т. е: длина ^, проведенного из т А к пл α , называется расстоянием от т A до пл α

Замечаиия. 1. Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости.

2. Теорема . Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Д-во . Впишем в данный цилиндр Р радиуса r и высоты h правильную n-угольную призму F_n а в

эту призму впишем цилиндр Р_п . Обозначим через V и V_n объемы цилиндров Р и Р_п , через r_п — радиус цилиндра Р_п . Так как объемпризмы F_n равен S_n h, где S_n - площадь основания призмы, а цилиндр Р содержит призму F_n , кот в свою очередь , содержит цилиндр Р_{п ,} тоV_n <S_n h<V. Будем неограниченно увеличивать число n. При этом радиус r_п цилиндра Р_п стремиться к радиусу r цилиндра Р(r_п =rcos180/n®r при r→∞). Поэтому V цилиндра Р_п стремиться к объему цилиндра Р: limV_n =V. Из равенства (V_n <S_n h<V) =>, что

n→∞

limS_n h=V. Но limS_n =πr² Т.о V=πr² h.т.к πr² =S ,то получим V=S_осн h.

n→∞ n→∞

Билет № 6

1. Расстояние между скрещивающимися прямыми (формулировки, примеры)

2. Объем конуса.

Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью , проходящей через другую прямую параллельную первой , называется расстояни6е между скрещивающимися прямыми.

Если две прямые скрещиваются то через каждую из них проходит плоскость параллельная другой прямой , и при том только одна.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--