Реферат: Билеты по геометрии

Проведем в плоскости b прямую АD,^АС. Тогда ÐBAD - линейный угол двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей a и b. Но ÐBAD=90⁰ (т.к. AB^b). След-но, угол м/у плоскостями a и b равен 90⁰ , т.е. a^b. Ч.Т.Д.

S_бок =P*a (а - бок. ребро, Р-периметр)

БИЛЕТ 11

ТЕОРЕМА: Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

Док-во: Рассмотрим прямые а и b , перпендикулярные к плоскости a. Докажем, что а ½½b .

Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b₁ , параллельную прямой a. Докажем, что прямая b₁ совпадает с прямой b. Тем самым будет доказано, что a½½ b. Допустим, что прямые b и b₁ не совпадают. Тогда в плоскости b, содержащей прямые b и b₁ , ч/з точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой c, по которой пересекаются плоскости a и b. Но это невозможно, след-но, a½½ b. Ч.Т.Д.

БИЛЕТ 13

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Расстояние м/у одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей ч/з другую прямую параллельно первой, называется расстоянием м/у скрещивающимися прямыми.

S_полн =S_бок +2S_осн ; S_бок =P*H(ребро)

БИЛЕТ 14

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае наклонной.

ТЕОРЕМА: Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Док-во: Бок.грани прямой призмы - прямоугольники, основания которых - стороны основания призмы, а высоты равны высоте h призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников, т.е. равна сумме произведений сторон основания на высоту h . Вынося множитель h за скобки, получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е. его периметр Р. Итак, S_бок =P*h. Ч.Т.Д.

БИЛЕТ 15

Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A₁ B₁ C₁ D₁ , расположенных в плоскостях так, что отрезки AA₁ ,BB₁ ,CC₁ , и DD₁ параллельны.

Поверхность составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A₁ B₁ C₁ D₁ и четырех параллелограммов называется параллелепипедом м обозначается ABCDA₁ ..D₁ .

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями , их стороны - ребрами , а вершины параллелограммов - вершинами параллелепипеда .

ТЕОРЕМА: Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Док-во: Рассмотрим четырехугольник A₁ D₁ CB, диагонали которого являются диагоналями параллелепипеда ABCDA₁ ..D₁ . Т.к. A₁ D₁ ½½ BC и

A₁ D₁ =BC, то A₁ D₁ CB - параллелограмм. Поэтому диагонали A₁ C и D₁ B пересекаются в некоторой точке О и этой точкой делятся пополам.

БИЛЕТ 16

ТЕОРЕМА: Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

Док-во: Докажем равенство граней ABB₁ A₁ и DCC₁ D параллелепипеда ABCA₁ ..D₁ . Т.к. ABCD и ADD₁ A₁ - параллелограммы, то AB½½DC и AA₁ ½½DD₁ . Таким обр., две пересекающиеся прямые AB и AA₁ одной грани соответственно параллельны двум прямым CD и DD₁ другой грани. Отсюда по признаку параллельности плоск. следует, что грани ABB₁ A₁ и DCC₁ D₁ параллельны.

Докажем равенство этих граней. Т.к. все грани параллелепипеда - параллелограммы, то AB=DC и AA₁ =DD₁ . По той же причине стороны углов A₁ AB и D₁ DC соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таким обр., две смежные стороны и Ð м/у ними паралл-ма ABB₁ A₁ соотв. равны двум смежным сторонам у Ð м/у ними пар-ма DCC₁ D₁ , поэтому эти параллелограммы равны

БИЛЕТ 17

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Параллелепипед называется прямоугольным , если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

ТЕОРЕМА: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.