Реферат: Билеты по геометрии

Из прямоугольного треугольника ACC1 по теореме Пифагора получаем AC1 2 =AC2 +CC1 2 .

Но AC -диагональ прямоугольника ABCD, поэтому AC2 =AB2 +AD2 . Кроме того, CC1 =AA1 .

След-но AC1 2 =AB2 +AD2 +AA1 2 Ч.Т.Д.

БИЛЕТ 18

Рассмотрим многоугольник A1 A2 ..An и точку P не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив точку P отрезками с вершинами многоугольника, получим n треугольников: PA1 A2 ,PA2 A3 ,...,PAn A1 .

Многогранник, составленный из n -угольника A1 A2 ..An и n треугольников, называется пирамидой

Многоугольник A1 A2 ..An называется основанием , а треугольники - боковыми гранями пирамиды. Точка P называется вершиной пирамиды, а отрезки PA1 , PA2 , ..., Pan - ее боковыми ребрами.

ТЕОРЕМА: Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая ее, отсекает подобную пирамиду.

Док-во: S-вершина пирамид A - верш.основания и A1 - точка пересечения секущей плоскости с боковым ребр. SA. Подвергнем пирамиду преобразованию гомотетии относительно вершины S с коэф. гомотет. k=SA1 /SA

При этом плоск-ть основания переходит в паралл. плоск-ть, проходящую ч/з точку A1 , т.е. в секущую плоскость, а след-но, вся пирамида - в отсекаемую это плоскостью часть. Т.к. гомотет. есть преобразование подобия, то отсек. часть явл пирамид., подобной данной. Ч.Т.Д.

БИЛЕТ 19

ТЕОРЕМА: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Док-во: Боковые грани правидьной пирамиды - равные равнобедренные треугольники, основания которых - стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды равна сумме произведений сторон основания на половину апофемы d. Вынося множитель 1/2*d за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, т.е. его периметр. Ч.Т.Д.

БИЛЕТ 20

ТЕОРЕМА: Объем призмы равен произведению площади основания на высоту.

Док-во: 1) Рассмотрим прямую треуг. призму ABCA1 B1 C1 с объемом V и высотой h. Проведем такую высоту треугольника ABC отрез.BD, которая разделяет этот треуг. на два треуг.

Плоскость BB1 D разделяет данную призму на две приз., основаниями которых явл. прямоугольные треуг. ABD и BDC. Поэтому объемы V1 и V2 этих призм соответственно равны

Sabd h и Sbdc h. V=V1 +V2 , т.е. V=Sabd h+Sbdc h=(Sabd +Sbdc )h. Таким обр., V=Sabc h

2) Докажем теорему для произвольной призмы с высотой h и площ. основания S. Такую призму можно разбить на прямые треуг. призмы с высотой h.

Выразим объем каждой приз. по формуле (1) и сложим эти объемы. Вынося за скобки множитель h, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т.е площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем призмы равен Sh. Ч.Т.Д.


????? 21

За площадь боковой поверхности цилиндра принимают площадь ее развертки.

Так как площадь прямоугольника ABB1 A1 равна AA1 *AB=2prh, то для вычислений площади боковой поверхности цилиндра радиуса r и высоты h получается формула Sбок =2prh

Итак, площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.

БИЛЕТ 22

ТЕОРЕМА: Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Док-во: Рассмотрим конус с объемом V. Произвольн. сечение конуса плоскостью перпендикулярной к оси Ox, является кругом с центром в т.M1 пересечения этой плоскости с осью Ox.

Обозначим радиус этого круга ч/з R1 , а площадь сечения ч/з S(x), где x- абсцисса точки M1 . Из подобия прямоугольных треугольников OM1 A1 и OMA следует, что OM1 /OM=R1 /R, или x/h=R1 /R, откуда R1 =xR/h.

Так как S(x)=pR1 2 , то S(x)=pR2 x2 /h2 .

Применяя основную формулу для вычисления объемов тел получаем:

К-во Просмотров: 273
Бесплатно скачать Реферат: Билеты по геометрии