Реферат: Частотные и переходные характеристики систем авторегулирования

период колебаний на вершине Т _в ,

перерегулирование Δh_m /h _уст .

Рис.

Так как частотная характеристика замкнутой системы однозначно связана с ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы, то можно установить связь, по крайней мере, качественную, между логарифмическими частотными характеристиками разомкнутой системы и параметрами переходной характеристики замкнутой системы. Так, чем меньше запас устойчивости по фазе, тем больше перерегулирование и медленнее затухание колебаний на вершине. Существует следующая приближенная связь между запасом устойчивости по фазе и перерегулированием:

Δh_m (в %) = 70 – Δφ (в град)

при условии, что запас устойчивости по фазе 30⁰ < Dj < 70⁰ .

Временные параметры переходной характеристики связаны с частотой среза w_ср .. Чем больше частота среза, тем шире полоса пропускания замкнутой системы и меньше все временные параметры.

Как правило, системы, обладающие удовлетворительным качеством регулирования, имеют запас устойчивости по фазе от 30 до 70⁰ . Как можно обеспечить такой запас устойчивости по фазе? Если ЛАХ пересекает ось частот под наклоном -20 дБ/дек. и длина участка с таким наклоном достаточно велика, то запас устойчивости по фазе близок к 90⁰ . Такую связь можно установить, например, по логарифмическим частотным характеристикам интегрирующего звена. Во всем диапазоне частот его ЛАХ идет под наклоном –20 дБ/дек., а фазовый сдвиг равен –90⁰ . Если же ЛАХ пересекает ось частот под наклоном –40 дБ/дек. и длина участка с таким наклоном достаточно велика, то запас устойчивости по фазе близок к нулю. Поэтому такой наклон ЛАХ при пересечении оси частот нежелателен.

Наиболее легко обеспечиваются приемлемые запасы устойчивости по фазе, если ЛАХ разомкнутой системы пересекает ось частот под наклоном –20 дБ/дек. и длина участка с таким наклоном составляет около 1,5 декады. С этим участком сопрягаются участки ЛАХ с наклонами –40 или –60 дБ/дек. Можно выделить 4 типа ЛАХ в окрестности частоты среза, отличающиеся наклонами: 1) -40, -20, -40; 2) -40, -20, -60; 3) -60, -20, -40; 4) -60, -20, -60. Если ЛАХ продлить в области нижних и верхних частот без изменения наклона, то передаточная функция разомкнутой системы для каждого из этих типов ЛАХ запишется, соответственно:

,	,
(3)
,	,

где Т ₁ = 1/ω₁ , Т ₂ = 1/ω₂ , К = 10^{L /20} , L – значение ЛАХ на частоте ω₁ .

Запас устойчивости по фазе зависит как от длины участка с наклоном –20 дБ/дек., так и от соотношения сопрягающих частот ω₁ и ω₂ и частоты среза ω_ср , а также от типа ЛАХ. Для соответствующего типа ЛАХ он определяется выражениями:

Δφ ₁ = arctgω_ср T ₁ – arctgω_ср Т ₂ ,

Δφ ₂ = arctgω_ср Т ₁ – 2arctgω_ср Т ₂ , (4)

Δφ ₃ = -90⁰ + 2arctgω_ср Т ₁ – arctgω_ср Т ₂ ,

Δφ ₄ = -90⁰ + 2arctgω_ср Т ₁ – 2arctgω_ср Т ₂ .

Сравним запасы устойчивости по фазе для первого и четвертого типов ЛАХ при одинаковой длительности участка с наклоном –20 дБ/дек., равном 1,5 декады (см. рис. 5). ЛФХ, соответствующая ЛАХ первого типа, получается сложением ЛФХ двух интегрирующих звеньев, форсирующего звена с постоянной времени Т ₁ и инерционного звена с постоянной времени Т ₂ . ЛФХ, соответствующая ЛАХ четвертого типа, получается сложением ЛФХ трех интегрирующих звеньев, двух форсирующих и двух инерционных звеньев.

Рис.

Видим, что с увеличением наклонов участков ЛАХ, сопрягаемых с участком с наклоном –20 дБ/дек., запас устойчивости по фазе становится меньше. Заметим также, что запас устойчивости по фазе уменьшается с приближением w_ср к w₁ или w₂ . Для удобства сравнения процессов в системах, отличающихся друг от друга или передаточными функциями, или параметрами исследование проводится одновременно на трех моделях. Эти модели в изображении VisSim приведены на рис. 6.

Рис.

Каждая содержит три линейных звена, задаваемых передаточными функциями. При моделировании статической и астатических систем первого и второго порядка используются только два звена. При этом передаточные функции (6) целесообразно представить в виде произведения передаточных функций отдельных звеньев:

2. Построение логарифмических частотных характеристик

Логарифмические частотные характеристики можно определить, прологарифмировав комплексную частотную характеристику:

lnK (j w) = ln{K (w)Exp(j j(w))} = lnK (w) + j j(w).

Действительная часть полученного выражения является логарифмической АЧХ, а мнимая – логарифмической ФЧХ. Определенная таким образом логарифмическая АЧХ измеряется в неперах. Обычно используется другая единица измерения – децибел, и ЛАХ определяется как L (w) = 20lgK (w).

Главное достоинство логарифмических частотных характеристик проявляется при построении частотных характеристик последовательного соединения звеньев, так как логарифмические частотные характеристики складываются.

Если передаточная функция линейной системы записывается как отношение полиномов, то ее можно представить в виде произведения сомножителей не выше второго порядка. Таких разнотипных сомножителей семь. В соответствии с этим вводятся семь типовых линейных звеньев: 1) безынерционное с передаточной функцией К (р ) = К ; 2) интегрирующее (К (р ) = 1/р ); 3) инерционное (К (р ) = 1/(1 + рТ )); 4) колебательное (К (р ) = 1/(1 + 2dTp + p ² T ² )); 5) дифференцирующее (К (р ) = р ); форсирующее (К (р ) = 1 + рТ ); 7) форсирующее второго порядка (К (р ) = = 1 + 2dTp + p ² T ² ).