Реферат: Диференціал 5

2) ,

) ,

4) .

Геометричний зміст диференціала. Нехай графік диференційованої функції має вигляд, зображений на рис. 6.6 (крива ).

Візьмемо на кривій точки і . У точці проведемо дотичну до кривої . Тоді з трикутника знайдемо довжину відрізка :

або

. (6.53)

Рівність (6.53) і характеризує геометричний зміст диференціала: диференціал функції дорівнює приросту ординати дотичної до графіка цієї функції в розглядуваній точці.

Рис.6.6

Механічний зміст диференціала. Припустимо, що матеріальна точка рухається за відомим законом

де - диференційована функція при деякому значенні часу . Тоді функція має диференціал

,або .

Добуток виражає шлях, який точка проходить за час , рухаючись із сталою швидкістю .

Отже, механічне тлумачення диференціала функції таке: диференціал функції виражає той шлях, який точка пройшла б за час , якби вона рухалася прямолінійно і рівномірно зі сталою швидкістю .

6.6.3. Повний диференціал функції двох змінних

Означення повного диференціала. Нехай функція в деякій області неперервна і має частинні похідні та .

Виберемо в цій області довільну точку . Надамо приросту обом аргументам, тобто візьмемо точку

. Для приросту

одержуємо такий вираз:

(6.54)

При і останні два доданки є нескінченно малими вищого порядку, оскільки і . Перших два доданки складають головну частину у виразі повного приросту .

Означення. Головна, лінійна відносно і частина приросту функції називається повним диференціалом функції двох змінних і позначається або :

. (6.55)

(Легко бачити, що це означення приводить до введеного вище поняття диференціала функції однієї змінної, якщо замість розглядати функцію ).

Приклад. Знайти повний диференціал функції .

Р о з в ’ я з о к.