Реферат: Дифференциальные и интегральные функции распределения

Точка X_M называется медианой, или 50%-ным квантилем. Для его нахождения у распределения случайной величины должен существовать только нулевой начальный момент. Координата Хц может быть определена и как центр тяжести распределения, т.е. как математическое ожидание случайной величины. Это такая точка X, относительно которой опрокидывающий момент геометрической фигуры, огибающей которой является кривая f (x), равен нулю:

У некоторых распределений, например, у распределения Коши, не существует МО, так как определяющий его интеграл расходится.

При симметричной кривой плотности распределения вероятностей f (x) оценкой центра распределения может служить абсцисса моды распределения, т.е. координата максимума плотности распределения X_m . Однако есть распределения, у которых не существует моды, например, равномерное. Распределения с одним максимумом называются одномодальными, с двумя – двухмодальные. Те распределения, у которых в средней части расположен не максимум, а минимум, называются антимодальными.

Для двухмодальных распределений применяется оценка центра в виде центра сгибов:

где x_{c 1} , x_{c 2} – сгибы, т.е. абсциссы точек, в которых распределение достигает максимумов.

Для ограниченных распределений применяется оценка в виде центра размаха:

где x₁ , x₂ – первый и последний члены вариационного ряда, соответствующего распределению.

При выборе оценки центра распределения необходимо учитывать ее чувствительность к наличию промахов в обрабатываемой совокупности данных. Исключительно чувствительны к наличию промахов: оценка в виде центра размаха X_p (определяется по наблюдениям, наиболее удаленным от центра, каковыми и являются промахи); оценка в виде среднего арифметического (ослабляется лишь из n раз). Защищенными от влияния промахов являются квантильные оценки: медиана X_M и центр сгибов Xc, поскольку они не зависят от координат промахов.

При статистической обработке данных важно использовать наиболее эффективные, т.е. имеющие минимальную дисперсию, оценки центра распределения, так как погрешность в определении Xц влечет за собой неправильную оценку СКО, границ доверительного интервала, эксцесса и т.д.

Все моменты представляют собой некоторые средние значения, причем, если усредняются величины, отсчитываемые от начала координат, моменты называются начальными, а если от центра распределения – то центральными.

Начальные моменты k-го порядка определяются формулами

где p_i – вероятность появления дискретной величины. Здесь и ниже первая формула относится к непрерывным, а вторая к дискретным случайным величинам. Из начальных моментов наибольший интерес представляет математическое ожидание МО случайной величины (k = 1):

Центральные моменты k-го порядка рассчитываются по формулам

Из центральных моментов особенно важную роль играет второй момент (k=2), дисперсия случайной величины D

Дисперсия случайной величины характеризует рассеяние отдельных ее значений. Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины и выражает как бы мощность рассеяния относительно постоянной составляющей. Однако чаще пользуются положительным корнем квадратным из дисперсии – средним квадратическим отклонением (СКО) σ = D, которое имеет размерность самой случайной величины.

Третий центральный момент

служит характеристикой асимметрии, или скошенности распределения. С его использованием вводится коэффициент асимметрии υ = μ₃ / σ³. Для нормального распределения коэффициент асимметрии равен нулю. Вид законов распределения при различных значениях коэффициента асимметрии приведен на рис. 6, а.

Четвертый центральный момент

служит для характеристики плосковершинности или островершинности распределения. Эти свойства описываются с помощью эксцесса ε = μ₄ / σ⁴ .

Его значения лежат в диапазоне от 1 до ∞. Для нормального распределения ε = 3. Вид дифференциальной функции распределения при различных значениях эксцесса показан на рис. 6, б.