Реферат: Динамическое программирование и вариационное исчисление

=+λ, что противоречит предположению, что u(t) обращает J(u)=+λ в минимум.

Важнейшим понятием вариационного исчисления является понятие вариации функции, которое при исследовании функционалов играет такую же роль, как дифференциал при исследовании функций.

Пусть f(x) – функция, непрерывная на интервале [a,b]. Рассмотрим внутреннюю точку х этого интервала и некоторое фиксированное значение дифференциала аргумента функции ∆x=dx. Разность f(x+∆x)-f(x)=df(x)=f(x)∆x называется дифференциалом функции f(x) в точке х. Как известно, условие df(x)=0 является необходимым условием минимума (максимума) функции f(x) в точ­ке х.

Получим аналогичные соотношения в вариационноми исчислении.

Рассмотрим задачу с закреплёнными концами при фиксированном времени.

Пусть задана некоторая целевая функция

J=-min, при условиях x(t0)=x0 , x(tf)=xf , t[t0,tf], x(t)Rn, причём x(t) непрерывна, и дифференцируема.

Пусть у нас имеется оптимальное решение x(t)=x*(t).

Проведём сдвиг от этого решения: выберем произвольную функцию η(t), такую, что η(t0)=η(tf)=0, η(t)Rn ,причём η(t) непрерывна, и дифференцируема.

Тогда наше решение запишется как

x(t)=x*(t)+εη(t) и соответственно x(t)=x*(t)+εη(t), где ε=[ε1,…,εn]T , εRn, εi=const.

Таким образов выражение εη(t) есть не что иное, как ∆x для функции f(x), εη(t) называется вариацией функционала.

При фиксированных x(t) и η(t), наша целевая функция буде функцией от ε:

J(ε)=-min,

Решение этого уравнение известно, т.к. это будет достигаться при ε=0,x(t)=x*(t).

Разложим функцию J(ε) в ряд Тейлора в точке ε=0n:

J(ε)=J(0n)+J(ε)ε +2J(ε)ε2 + o(∆x).

Необходимое условие минимума J(ε)-J(0n) ≥0, тогда получим

J(ε)-J(0n)=J(ε)ε +2J(ε)ε2 + o(∆x) ≥0.

Для того, чтобы неравенство выполнялось первое слагаемое должно равняттся нулю (т.к. оно может принимать как положительные, так и отрицательные значения):

J(ε)=δJ=0 – I необходимое условие экстремума функционала.

Если это условие выполняется, то получим

J(ε)-J(0n)=2J(ε)ε2 + o(∆x) ≥0,

отбросим члены малости больше 2.

2J(ε)= δ2 J ( ≥ 0, ≤ 0)

– второе необходимое условие экстремума функционала.

В вариационном исчислении условие δJ=0 ис­пользуется для получения так называемого дифферен­циального уравнения Эйлера, среди множества решений которого и определяется затем управление u(t), обращающее в минимум функционал.

Применим выше изложенные рассуждения для вывода дифференциального уравнения Эйлера.

Воспользуемся I необходимое условие экстремума функционалаJ(ε)=δJ=0.

δJ=J(ε)= ==

= =+=| 2-й интеграл по частям |=