Реферат: Динамика твердого тела

Все эти опыты вполне согласуются с известными законами динамики, сформулированными для системы материальных точек: законом движения центра масс и законом изменения момента импульса системы под действием момента внешних сил. Таким образом, в качестве двух векторных уравнений движения твердого тела можно использовать:

Уравнение движения центра масс

(3.1)

Здесь - скорость центра масс тела, - сумма всех внешних сил, приложенных к телу.

Уравнение моментов

(3.2)

Здесь L - момент импульса твердого тела относительно некоторой точки, - суммарный момент внешних сил относительно той же самой точки.

К уравнениям (3.1) и (3.2), являющимся уравнениями динамики твердого тела, необходимо дать следующие комментарии:

1. Внутренние силы, как и в случае произвольной системы материальных точек, не- влияют на движение центра масс и не могут изменить момент импульса тела.

2. Точку приложения внешней силы можно произвольно перемещать вдоль линии, по которой действует сила. Это следует из того, что в модели абсолютно твердого тела локальные деформации , возникающие в области приложения силы, в расчет не принимаются. Указанный перенос не повлияет и на момент силы относительно какой бы то ни было точки, так как плечо силы при этом не изменится.

Векторы L и M в уравнении (3.2), как правило, рассматриваются относительно некоторой неподвижной в лабораторной системе XYZ точки. Во многих задачах L и M удобно рассматривать относительно движущегося центра масс тела. В этом случае уравнение моментов имеет вид, формально совпадающий с (3.2). В самом деле, момент импульса тела относительно движущегося центра .масс О связан с моментом импульса относительно неподвижной - точки O' соотношением:

(3.3)

где R - радиус-вектор от O' к О, p - полный импульс тела . Аналогичное соотношение легко может быть получено и для моментов силы:

(3.4)

где F - геометрическая сумма всех сил, действующих на твердое тело.

Поскольку точка O' неподвижна, то справедливо уравнение моментов (3.2):

(3.5)

Тогда

(3.6)

Величина есть скорость точки О в лабораторной системе XYZ. Учитывая (3.4), получим

(3.7)

Поскольку движущаяся точка O - это центр масс тела, то ( - масса тела), и то есть уравнение моментов относительно движущегося центра масс имеет такой же вид, что и относительно неподвижной точки. Скорости всех точек тела при определении следует брать относительно центра масс тела.