Реферат: Дискретно-аналоговое представление

(11)

Выражение (11) получается с учетом фильтрующего свойства δ-функции. Если импульсная характеристика линейного фильтра удовлетворяет выражению (9), то соотношение (11) переходит в формулу для интерполяционной обработки:

. (12)

Идеальное восстановление функции на выходе линейного фильтра невозможно, т.к.:

-отклик на выходе линейного фильтра не может появиться раньше соответствующей выборки на входе;

-число выборок не равно бесконечности;

-АЧХ фильтра отличается от идеальной.

3. Задачи идеальной интерполяции

В общем случае формула интерполяции имеет вид:

, (13)

- оценка значения i-ой выборки, - восстановленный первичный сигнал,

.

Интерполяция возможна в том случае, если в сигнале имеются корреляционные связи. Может быть поставлена задача оптимального выбора вида функции , при которой ошибка интерполяции минимальна.

Рассмотрим задачу идеальной интерполяции сигнала при предположении, что , т.е. отсутствуют внешние шумы и ошибки системы.

Пусть непрерывный первичный сигнал описывается корреляционной

функцией . Требуется определить форму интерполирующей функции, обеспечивающей при заданных значениях коэффициента корреляции минимум СКО

. (14)

Можно показать, что в этом случае оптимальная интерполирующая функция имеет вид:

, (15)

где - весовые коэффициенты, однозначно связанные со значениями коэффициентов корреляции в точках , .

Т.о., оптимальная интерполирующая функция может быть определена как взвешенная сумма функций времени равных корреляционной функции первичного сигнала. Как следствие этой теории может бать доказана следующая теорема:

Если на интервале интерполяции корреляционная функция и ее взвешенная сумма хорошо аппроксимируются полиномом, то использование этого приближения обеспечит среднеквадратическое приближение близкое к идеальному. Т.е. требуется хорошая аппроксимация не всей корреляционной функции, а только ее части, приходящейся на интервал интерполяции (рисунок 5).

Рисунок 5

Чем меньше , тем точнее возможна аппроксимация в виде многочлена и тем проще могут быть аппроксимирующие полиномы. Проиллюстрируем эту теорему для сигнала с прямоугольным спектром (рисунок 6):

Рисунок 6

Известно, что в этом случае в соответствии с теоремой

В.А. Котельникова возможно разложение первичного сигнала в ряд: