Реферат: Дисциплины обслуживания. Модель с приоритетами. Дисциплины обслуживания с приоритетами, зависящими от времени

Отсюда получаем, что этот интервал равен

Следовательно, при интенсивности l _i входящего потока для требований i -го класса находим среднее число «обгоняющих» требований

Рассмотрим теперь меченое требование из класса p , поступающее в момент t =0 и находящееся в очереди в течение времени t_p .

Рис. 4 График приоритета q_p (t), используемый для получения .

На рисунке 4 показано, что значение функции приоритета этого требования к моменту поступления на сервер будет равно b_p t_p . При поступлении меченого требования оно застает в очереди n_i требований из класса i . Одно из таких требований показанное на рисунке 4 поступило в момент t=-t₁ . Определим теперь среднее число требований из класса i , которые поступают до нулевого значения момента времени, находятся в нулевой момент еще в очереди и получают обслуживание раньше меченого требования. Из рисунка 4 можно видеть, что этому условию удовлетворяет требование из класса i , которое поступает в момент -t₁ и ожидает в очереди в течение времени

Из рассмотрения соотношений на рисунке видно, что

При i > p

Подставив вычисленные средние значения для «обгоняющих» требований получим систему линейных уравнений для величин задержки меченого требования

Производя преобразования, можно свести решение этой системы уравнений к рекурсивной форме

Полученная формула представляет собой главный результат анализа дисциплины обслуживания с приоритетами, зависящими от времени. Типичная характеристика СМО с проанализированной дисциплиной обслуживания приведена на рисунке 5 Штриховая линия показывает характеристику для системы без приоритетов. Видно, что действие закона сохранения проявляется здесь в том, что хотя одна часть заявок, получившая высший приоритет будет иметь меньшее время ожидания, чем в системе без приоритетов с обслуживанием в порядке поступления, другая часть заявок при этом обязательно будет задержана на большее, чем в бесприоритетной системе время.

Рис. 5 для СМО с относительными приоритетами, зависящими от времени (Р=5, l_р =l/5,).

Оптимизация назначения приоритетов

Рассмотрим систему M/G/1 с интенсивностью поступающего пуассоновского потока l требований в секунду и произвольной функцией плотности вероятности для времени обслуживания с заданным средним временем обслуживания. Пусть плата за требование Y является случайной величиной с произвольной функцией распределения .

Система функционирует следующим образом: новое требование, поступившее в систему «предлагает» неотрицательную плату Y «организатору очереди». После этого требованию предоставляется место в очереди такое, что все требования внесшие меньшую плату оказываются позади, большую впереди данного требования. В каждый момент времени сервер, завершив обслуживание очередного требования, принимает на обслуживание требование, оказавшееся впереди всей очереди. До полного завершения обслуживания требование не покидает сервер. Требования, внесшие одинаковую плату, обслуживаются в порядке поступления.

Найдем среднее время ожидания в очереди для требования, внесшего плату Y=y . Это время складывается из трех составляющих. Во-первых, это время на дообслуживание требования, находящегося в данный момент в сервере. Во-вторых – время обслуживания требований, которые поступили раньше и внесли большую или равную плату. Наконец меченому требованию придется ждать обслуживания всех требований поступивших позже его, но внесли большую плату. Среднее число требований, плата которых лежит в интервале (u,u+du ) определяется по формуле Литтла :, где .

Используя обозначения для нижнего и верхнего предела функции b(u) можно записать суммарное выражение для времени ожидания в очереди для меченого требования в виде:

Используя ряд соотношений и обозначений можно найти, что при разрывной функции распределения вероятности это соотношение может быть приведено к виду

При абсолютно непрерывной функции плотности вероятности получим

.

Таким образом, мы получили конечное среднее время ожидания для всех требований, которые вносят плату выше, чем некоторое критическое значение